Cho \(x,y,z>0\) và \(xyz=1\). Tìm GTLN của \(H=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+y^2+1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+z^2+1}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+x^2+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
9 tháng 1 2020
We have:
\(A=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+x+y+z}\le\frac{1}{3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+3}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}\)
Dat \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow A\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}+1\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2019
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(H=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+y^2+1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+z^2+1}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(H=\frac{1}{\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2y}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2-2z}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+\left(x+1\right)^2-2x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(H\le\frac{1}{2.\left(x+1\right)\left(y+1\right)-2y}+\frac{1}{2.\left(y+1\right)\left(z+1\right)-2z}+\frac{1}{2.\left(z+1\right)\left(x+1\right)-2x}\)
\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2.\left(x+y+xy+1\right)-2y}+\frac{1}{2.\left(y+z+yz+1\right)-2z}+\frac{1}{2.\left(x+z+xz+1\right)-2x}\)
\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2.\left(x+xy+1\right)}+\frac{1}{2.\left(y+yz+1\right)}+\frac{1}{2.\left(z+xz+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2}\left[\frac{xyz}{x\left(1+y+yz\right)}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{xyz}{xz\left(y+yz+1\right)}\right]\)
\(\Leftrightarrow H\le\frac{1}{2}\left[\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{y+yz+1}\right]=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(x=y=z=1\)
Vậy \(H_{max}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)