K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 4 2019

\(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{z+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{y+x}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}+\frac{x}{2z}\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge2.\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}+2.\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{x}{2z}}+2.\sqrt{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2y}}=1+1+1=3\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c

17 tháng 4 2019

\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)

bạn tự c/m: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\left(b>a>0;c>0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}>\frac{2a}{a+b+c};\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)

Từ (1) và (2) 

\(1< \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)

đpcm

27 tháng 1 2018

bạn nên xem lại đầu bài

30 tháng 1 2018

đề bài đúng, mà mình cũng biết giải rồi

10 tháng 4 2020

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\)

vì a,b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác => \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}\Rightarrow x,y,z>0}\)

và \(\hept{\begin{cases}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=x+z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c=\frac{x+y}{2}\\a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}=\frac{y+z}{2x}}\)

Tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{c+a-b}=\frac{x+z}{2y}\\\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+y}{2z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\) vì \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\\\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\\\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\end{cases}}\)

Dấu "=" khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x}=\frac{x}{y}\\\frac{z}{x}=\frac{x}{z}\\\frac{y}{z}=\frac{z}{y}\end{cases}}\) và x,y,z>0

<=> x=y=z

=> a+b-c=c+a-b = a+b-c

<=> a+b+c-2a=a+b+c-2b=a+c+c-2c

<=> a=b=c

21 tháng 3 2019

Bài số ảo nhờ

kí tện

Dân game thủ

 kakakkakak tk cho bố m à

22 tháng 3 2019

Bài 1 : Đề cần có điều kiện a,b,c là các số thực dương

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(=1\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( vì \(a+b+c=1\))

Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 3 số dương ta có :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\end{cases}}\)

Khi đó : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{3\cdot3\cdot\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(đpcm)

20 tháng 4 2019

b)\(\Sigma\frac{a}{b+c-a}=\Sigma\frac{a^2}{ab+bc-a^2}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(BĐT Svarxơ)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\)(BĐT Bunhiacopxki)\(=3\)(đpcm)

a)\(\Sigma\frac{a}{b+c}=\Sigma\frac{a^2}{ab+bc}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=1,5>1\)

20 tháng 4 2019

"~" toán 8 khó quá !

31 tháng 3 2016

Diện tích toàn phần hình lập phương là :

6,4 x 6,4 x 5 = 204,8 ( m2 ) 

Diện tích phần tôn còn lại là : 

204,8 - 15 = 189,8 ( m2 ) 

Đáp số : 189,8 m2

23 tháng 3 2019

https://olm.vn/hoi-dap/detail/12121415915.html

vô đi rồi k cho mk

4 tháng 10 2019

Ta co:

\(\frac{a^2}{ab+ca-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ca+bc-c^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)

25 tháng 1 2018

Để mình hướng dẫn bằng lời nhé . Nếu đánh ra hết thì rất dài và không tốt cho cậu :

Đặt x= mẫu thứ nhất (1)

       y=mẫu thứ hai (2)

        z=mẫu thứ ba (3)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được .... Cậu tự tính cho tốt.

Sau đó rút c= x+y/2(@@@)

Tương tự với (2) và (3), (1) và (2)

Ta có b=x+z/2(@@)... a=y+z/2(@)

Cộng vế với vế của (@), (@@), (@@@) ta có 

vế trái bằng \(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)

Đặt 1/2 ra sau đó tách các phân số ra như sau 

\(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\)

Dễ dàng chuyển chúng sang BĐT Cauchy sẽ được kết quả cuối cùng là điều cần phải CM... Khó hiểu có thể hỏi lại 

27 tháng 1 2018

ai có thể giải ra thành bài luôn được ko, bạn ghi mình khồn hiểu

13 tháng 2 2018

Do a;b;c là 3 cạnh tam giác nên

\(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)

Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

Gọi \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)

\(\Rightarrow2A=\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)}{z}\)

            \(=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)

Rồi dùng Cô-si

\(\Rightarrow2A\ge6\)

\(\Leftrightarrow A\ge3\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c