Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức f(x)=ax^2+bx+c chia hết cho 2011 với mọi x thuộc Z(a,b,c,d thuộc Z) thì các hệ số a,b,c đều chia hết cho 2011
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 3 2021
F(0)=d⇒d⋮5F(0)=d⇒d⋮5
F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5F(1)=a+b+c+d⋮5⇒a+b+c⋮5
F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5F(−1)=−a+b−c+d⋮5⇒−a+b−c⋮5
⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5⇒(a+b+c)+(−a+b−c)⋮5
⇒2b⋮5⇒b⋮5⇒2b⋮5⇒b⋮5
⇒a+c⋮5
15 tháng 4 2017
xét F(-1)=a-b+c\(⋮\)3 (1); xétF(1)=a+b+c\(⋮\)3(2) từ (1) và (2) suy ra a-b+c+a+b+c\(⋮\)3 suy ra 2(a+c)\(⋮\)3 suy ra a+c\(⋮\)3 (3)
xétF(0)=c\(⋮\)3 suy ra a\(⋮\)3 (4) từ (3) và (4) suy ra F(x)=bx\(⋮3\forall\)x nên b\(⋮\)3
15 tháng 8 2017
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d⋮5\forall x\in Z\)
+ Với x=0 ta có \(f\left(0\right)=d⋮5\left(1\right)\)
+ Với x=1 ta có \(f\left(1\right)=a+b+c+d⋮5\left(2\right)\)
+ Với x=-1 ta có \(f\left(-1\right)=-a+b-c+d⋮5\left(3\right)\)
+ Với x=2 ta có \(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d⋮5\left(4\right)\)
+ Với x=-2 ta có\(f\left(-2\right)=-8a+4b-2c+d⋮5\left(5\right)\)
Từ (1),(2),(3),(4) và (5) suy ra:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c⋮5\\-a+b-c⋮5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(-a+b-c\right)⋮5\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c-a+b-c\right)⋮5\)
\(\Rightarrow2b⋮5\)
\(\Rightarrow b⋮5\) (vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau) \(\left(6\right)\)
Từ (1),(2),(4) và (6) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\a+c⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8\left(a+c\right)⋮5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8a+2c⋮5\\8a+8c⋮5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(8a+2c\right)-\left(8a+8c\right)⋮5\Rightarrow6c⋮5\)
\(\Rightarrow c⋮5\) (vì ƯCLN(6,5)=1)
\(\Rightarrow a⋮5\) (vì \(a+c⋮5\) )
Vậy \(a,b,c,d⋮5\)
DD
5 tháng 8 2015
Ta có f(0)=c chia hết cho 3.
f(1)=a+b+c chia hết cho 3 mà c chia hết cho 3 nên a+b chia hết cho 3.
f(-1)=a-b+c chia hết cho 3=> a-b chia hết cho 3.
Ta có (a+b)+(a-b)=2a chia hết cho 3. Mà 2,3 nguyên tố cùng nhau nên a chia hết cho 3.
a+b+c chia hết cho 3, a,c chia hết cho 3=> b chia hết cho 3
20 tháng 4 2016
Ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5
=> \(ax^3\)chia hết cho 5
\(bx^2\)chia hết cho 5
\(cx\)chia hết cho 5
\(d\)chia hết cho 5
Suy ra cả a,b,c,d đều chia hết cho 5
21 tháng 3 2015
Để (ax3 + bx2 + cx + d) chia hết cho 5 thì
ax3 chia hết cho 5
và bx2 chia hết cho 5
và cx chia hết cho 5
và ax3 chia hết cho 5 (dùng ngoặc và)
=> a,b,c,d đề phải chia hết cho 5
theo tôi là vậy
22 tháng 3 2015
ta có: x là số nguyên và x chia hết cho 5 ( trong toán học bạn phải viết kí hiệu của chia hết ra nhang)
=> ax^3 chia hết cho 5
bx^2 chia hết cho 5
cx chia hết cho 5
d chia hết cho 5
=>a,b,c,d đều chia hết cho 5
\(f\left(0\right)=c\) mà \(f\left(0\right)⋮2011\Rightarrow c⋮2011\)
\(f\left(1\right)⋮2011\Rightarrow a+b+c⋮2011\Rightarrow a+b⋮2011\)
\(f\left(-1\right)⋮2011\Rightarrow a-b+c⋮2011\Rightarrow a-b⋮2011\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)+\left(a-b\right)⋮2011\Rightarrow2a⋮2011\)
Mà 2 và 2011 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow a⋮2011\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a⋮2011\\a+b⋮2011\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b⋮2011\)