Cho 2019 số : a1,a2,a3,...a2019
Biết \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2019}}=1010\)
Chứng minh rằng trong 2019 số trên có 2 số bằng nhau
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 8 2016
Giả sử trong 2015 số đã cho không có hai số nào bằng nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử
\(a_1< a_2< ...< a_{2015}\)
Vì \(a_1,a_2,...,a_{2015}\) đều là số nguyên dương nên ta suy ra
\(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{2015}\ge2015\)
Suy ra
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2015}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)
\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+...+\frac{1}{2015}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}.2+\frac{1}{2^2}.2^2+...+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 1008\)
Mâu thuẫn với giả thiết
Do đó điều giả sử là sai
Vậy trong 2015 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau
29 tháng 6 2017
Đề sai rồi. Chỉ cần \(3\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\right)=\frac{49}{12}>4\) thì cần gì tới 4 số phải bằng nhau nữa.
27 tháng 2 2019
Giả sử trong 2019 số trên không có 2 số nào nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát : g/s : \(a_{2019}>...>a_2>a_1\ge1\)
=> \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+...+\frac{1}{a_{2019}^2}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2019^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2018.2019}\)
\(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}=2-\frac{1}{2019}< 2\)Vô lí với giả thiết
Vậy điều giả sử là sai
Vậy trong 2019 số tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau
12 tháng 5 2017
Gọi số tự nhiên đầu là a
Ta có 10 số đó sẽ là:
a;A+1;A+2;A+3;a+4;...;a+10
vì khi chia a cho 10 thì sẽ dư từ 0 đến 9, Nên
Nếu cộng a cho một đại lượng từ 0 đến 9 sẽ chia hết cho 10
8 tháng 12 2018
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có;
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2018}}{a_{2019}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2018}}{a_2+a_3+...+a_{2019}}\)(1)
Ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_{2018}}{a_{2019}}\Rightarrow\frac{a_1^{2018}}{a_2^{2018}}=\frac{a_1^{2018}}{a_2^{2018}}=\frac{a_2^{2018}}{a_3^{2018}}=...=\frac{a_{2018}^{2018}}{a_{2019}^{2018}}=\frac{a_1\cdot a_2\cdot...a_{2018}}{a_2\cdot a_3\cdot...\cdot a_{2019}}=\frac{a_1}{a_{2019}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\frac{a_1^{2018}}{a_2^{2018}}=\frac{a_2^{2018}}{a_3^{2018}}=...=\frac{a_{2018}^{2018}}{a_{2019}^{2018}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2018}}{a_2+a_3+...+a_{2019}}\right)^{2018}\)(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh
18 tháng 11 2016
Giả sử a1, a2, ..., a2017 là 2017 số khác nhau.
Và0 < a1 < a2 ... < a2017
Vì là số nguyên dương nên ta có
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2017}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+\frac{2016}{2}=1009\)
Từ đây ta thấy rằng nếu như 2017 số đó là khác nhau thì tổng luôn < 1009 vậy nên để tổng đó bằng 1009 thì phải có ít nhất 2 trong 2017 số đó bằng nhau
26 tháng 5 2020
có bạn nào làm được bài này theo nguyên lí Đi - rich - lê ko
4 tháng 12 2019
Em kiểm tra lại đề bài nhé!
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=.....=\frac{a_{2019}}{a_{2020}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2019}}{a_2+a_3+...+a_{2020}}\)
=> \(\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.\frac{a_3}{a_4}...\frac{a_{2019}}{a_{2020}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2019}}{a_2+a_3+...+a_{2020}}\right)^{2019}\)
=> \(\frac{a_1}{a_{2020}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2019}}{a_2+a_3+...+a_{2020}}\right)^{2019}\)
