Question

[Hoa Hồng Xanh]

Bài 3: (2,0 điểm)

1. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x² + 5y² – 4xy – x + 2y – 6 = 0. Chứng minh: -1≤x-2y+1≤4

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y³ – x³ = 2x + 1

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(x^2+4y^2+\frac{1}{4}-4xy-x+2y+y^2-\frac{25}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{4}-y^2\le\frac{25}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{-5}{2}\le x-2y-\frac{1}{2}\le\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow-2\le x-2y\le3\)

\(\Rightarrow-1\le x-2y+1\le4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(y=0\) và \(x=...\)

2/ \(x^3+2x+1=y^3\)

- Với \(x=0\Rightarrow y=1\)

\(VT=x^3+3x^2+3x+1-3x^2-x=\left(x+1\right)^3-x\left(3x+1\right)\) (1)

Do \(x\left(3x-1\right)\ge0\) \(\forall x\in Z\)

\(\Rightarrow VT\le\left(x+1\right)^3\Rightarrow y^3\le\left(x+1\right)^3\Rightarrow y\le x+1\)

Lại có:

\(VT=x^3-3x^2+3x-1+3x^2-x+2=\left(x-1\right)^3+3x^2-x+2\)

Do \(3x^2-x+2>0\) \(\forall x\Rightarrow VT>\left(x-1\right)^3\Rightarrow y^3>\left(x-1\right)^3\Rightarrow y>x-1\)

\(\Rightarrow x-1< y\le x+1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=x\) thay vào pt ta được: \(2x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{2}\left(ktm\right)\)

- Với \(y=x+1\) từ \(\left(1\right)\Rightarrow x\left(3x+1\right)=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\) là cặp nghiệm nguyên duy nhất