cho (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 và abc khác 0 chứng minh bc /a^2 +ac /b^2 + ab/c^2 =3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HM
cho c^2 +2(ab -ac -bc ) =0 và b khác c, a+b khác 0. Chứng minh a^2 +(a-c)^2 /b^2+(b-c)^2 = a-c / b-c
1
25 tháng 11 2018
\(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=\left(a+b-c\right)^2-b^2=\left(a+b-c-b\right)\left(a+b-c+b\right)=\left(a-c\right)\left(a+2b-c\right)\\b^2=\left(a+b-c\right)^2-a^2=\left(a+b-c-a\right)\left(a+b-c+a\right)=\left(b-c\right)\left(2a+b-c\right)\end{cases}}\)
\(a^2+\left(a-c\right)^2=\left(a-c\right)\left(a+2b-c\right)+\left(a-c\right)^2\)
\(=\left(a-c\right)\left(a+2b-c+a-c\right)=2\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)\)
\(b^2+\left(b-c\right)^2=\left(b-c\right)\left(2a+b-c\right)+\left(b-c\right)^2\)
\(=\left(b-c\right)\left(2a+b-c+b-c\right)=2\left(b-c\right)\left(a+b-c\right)\)
Vậy \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{2\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{2\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\)
S
8 tháng 7 2018
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)
<=>\(ab+bc+ca=0\)
<=>\(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
<=> \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)
<=>\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=-\frac{1}{c}^3\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{b^3}=\frac{-1}{c}^3\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Ta có: \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=\frac{3abc}{abc}=3\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
TA
1
27 tháng 11 2017
Ta có \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ab\right)^3+\left(ac\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)
Ta lại có (a+b+c)2=a2+b2+c2
=>a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)= a2+b2+c2
=> 2(ab+bc+ac)=0=> ab+bc+ac=0
Ta cần chứng minh bài toán phụ x+y+z=0 thì
x3+y3+z3=3xyz
Ta thấy x+y+z=0=> x+y=-z
=> (x+y)3=-z3 => x3+3xy(x+y)+y3=-z3
=> x3+y3+z3=-3xy(x+y)=-3xy.(-z)=3xyz
Áp dụng vào bài toán ta có
ab+bc+ac=0 => (ab)3+(bc)3+(ac)3=3(abc)2
=> \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)
=> đpcm
