Cho a,b,c là các số thực dương và abc = 1
CMR: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{c}\right)^2+\left(c+\frac{1}{a}\right)^2\ge3\left(a+b+c+1\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
9 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương. Ta có:
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\right]}\)(1)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{1}{abc}\)
\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc^2}}+\frac{1}{abc}\)
\(=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\); (2)
\(2+abc=1+1+abc\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}>\frac{3}{2+abc}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1
P/s: Bài này trong toán tuổi thơ có hướng dẫn sơ sơ nên đơn giản thôi bạn
VD
8 tháng 7 2016
bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi hoặc bdt holder ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\) câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .
TN
9 tháng 7 2016
Bài 1:Đặt VT=A
Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)
Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự với 2 cái còn lại
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự suy ra
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)
VD
26 tháng 12 2015
đã làm ra . cứ tách ra thành 1/(á+1) và 2/(á+1)^2 rồi thêm bớt a+1 /4 và (á+1)^2/16 rồi cosi từng cái theo thứ tự trên . sau đó cosi cái phần bớt đi là đc . bva c tương tự
Ta có \(VT=a^2+b^2+c^2+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow VT=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\) (Vì abc=1)
ÁP dụng bđt Cô-si cho 3 số dương, ta có:\(a^2+\frac{1}{b^2}+ab^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a\)
\(b^2+\frac{1}{c^2}+bc^2\ge3b\) \(c^2+\frac{1}{a^2}+ca^2\ge3c\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(a+b+c\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge3\left(a+b+c\right)+3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3\left(a+b+c+1\right)\) Vì abc=1. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1