Liệu có tồn tại hay không các điểm M,N,P thuộc các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC có trực tâm H, tâm ngoại tiếp O thỏa mãn cả hai điều kiện: MH + MO = NH + NO = PH + PO và AM,BN,CP đồng quy ?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 2 2020
bài 3
Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )
Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K
Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I
dễ thấy O là trung điểm MN
do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)
\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N
\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)
Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )
mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng
28 tháng 2 2020
Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC
Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành
\(\Rightarrow\)DE // CF
\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH
\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)
Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình
\(\Rightarrow\)MH // BD
\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)
28 tháng 3 2020
Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.
M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành
\(\Rightarrow NC//BH\)
Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O )
Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)
M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC
Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :
\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng
28 tháng 3 2020
gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD
Đường thẳng ME cắt NF tại S
Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )
Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)
Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)
\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )
\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)
Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )
Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)
có tồn tại
Gọi giao điểm thứ hai của AH,BH,CH với đường tròn (O) thứ tự là D,E,F. Gọi OD cắt BC tại M, OE cắt CA tại N, OF cắt AB tại P.
Ta sẽ chứng minh 3 điểm M,N,P nói trên thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện của đề:
+) ĐK 1: MH + MO = NH + NO = PH + PO
Ta có: ^BDH = ^BDA = ^BCA = ^BHD => \(\Delta\)HBD cân tại B => BH = BD. Tương tự: CH = CD
Do đó: BC là trung trực của HD. Vì M thuộc BC nên MH = MD => MH + MO = MD + MO = OD = R
Chứng minh tương tự ta được: MH + NO = NH + NO = PH + PO = R (R là bán kính đường tròn (O)) (Thỏa mãn)
+) ĐK 2: AM,BN,CP đồng quy (Đặt 1800 - 2.^BAC = \(\alpha\); 1800 - 2.^ABC = \(\beta\); 1800 - 2.^ACB = \(\gamma\))
Đường tròn (O) có: ^BOD và ^BAD là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn (BD => ^BOD = 2.^BAD
Hay ^BOM = 2.(900 - ^ABC) = 1800 - 2.^ABC. Tương tự: ^COM = 1800 - 2.^ACB
Áp dụng ĐL hàm Sin: \(\frac{BM}{CM}=\frac{\sin\widehat{BOM}}{\sin\widehat{COM}}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\)Tương tự: \(\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta};\frac{CN}{AN}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\)
Từ đó: \(\frac{AP}{BP}.\frac{BM}{CM}.\frac{CN}{AN}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=1\)
Theo điều kiện đủ của ĐL Céva thì 3 đường thẳng AM,BN,CP đồng quy (Thỏa mãn)
Vậy nên tồn tại 3 điểm M,N,P là 3 điểm thỏa mãn bài.