cho a,b>0.Tim GTNN cua \(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DV
1
VH
27 tháng 9 2019
\(\sqrt{a+b}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)
\(=\sqrt{2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\ge\sqrt{2+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}}=\sqrt{2+2}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
VA
1
LH
1
30 tháng 1 2020
\(A=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}\)
\(=\frac{3}{a^2+b^2}+\frac{4}{2ab}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}\)(cauchy-schwarz dạng engel)
\(=7+4\sqrt{3}\)
31 tháng 3 2017
Ta có:
\(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{1-a-b+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{1-b-c+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{1-a-c+ca}}\)
\(=\frac{ab}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}}\)
\(\le\frac{a^2}{2\left(1-a\right)}+\frac{b^2}{2\left(1-b\right)}+\frac{b^2}{2\left(1-b\right)}+\frac{c^2}{2\left(1-c\right)}+\frac{c^2}{2\left(1-c\right)}+\frac{a^2}{2\left(1-a\right)}\)
\(=-\left(\frac{a^2}{a-1}+\frac{b^2}{b-1}+\frac{c^2}{c-1}\right)\)
\(\le-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}\)
Vậy GTLN là \(P=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
TN
31 tháng 3 2017
Biến đổi một chút, ta có:\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\cdot\sqrt{\frac{bc}{c+a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right);\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{a+b}\right)\)
Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta có:
\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\)
DV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 9 2019
\(J=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Rightarrow J_{min}=6\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
ML
14 tháng 8 2016
Dự đoán các biểu thức đạt GTLN / GTNN tại các mút hoặc tại các biến bằng nhau.
Việc còn lại là nhóm hợp lý sao cho dấu bằng xảy ra giống như dự đoán,
\(A=a^2+\frac{18}{a^2}=\left(\frac{18}{a^2}+\frac{a^2}{72}\right)+\frac{71a^2}{72}\ge2\sqrt{\frac{18}{a^2}.\frac{a^2}{72}}+\frac{71.6^2}{72}=\frac{73}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{18}{a^2}=\frac{a^2}{72}\\a=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\)
\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{8a^2}\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)
c. \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\), làm tương tự câu a, b
d.
\(t=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=2\)
\(D=t+\frac{1}{t}\text{ }\left(t\ge2\right)\), làm tương tự câu a.
3 tháng 9 2017
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\text{≥}a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\text{≥}b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{c+a}\text{≥}c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2)(;(3) lại ta được :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\text{≥}a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ac}}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\text{≥}\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ac}}{2}\right)\)
Lại lại có : \(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (tự chứng minh)
\(\Rightarrow a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\text{≥}0\)
Nên \(A\text{≥}\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\frac{1}{2}\)có GTNN là 1/2
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
áp dụng bdt cô-si ta có P\(\ge\)2
dấu = xảy ra khi (a+b)2=ab
\(\text{Giải}\)
\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
Ấp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(P=\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{3}{4}\)
\(\text{ÁP DỤNG BĐT Cô-si Ta đc:}\)\(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(\sqrt{ab}\right)}{4\sqrt{ab}\left(a+b\right)}}=1\)
Theo BĐT Cô si ta đc:\(\frac{3}{4}.\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{3}{2}.\text{Dấu "=" xảy ra khi: a=b}\)