Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại F, cắt đường tròn tại E. Chứng minh:
a) \(\Delta\)BEC cân
b) \(\widehat{BEC}\)=\(\widehat{ABC}\)+\(\widehat{ACB}\)
c) AB.AC=AE.AF
d)\(AF^2\)=AB.AC-BF.CF
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 11 2023
a: Xét (O) có
\(\widehat{BAE}\) là góc nội tiếp chắn cung EB
\(\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung EC
\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)
Do đó: \(sđ\stackrel\frown{EB}=sđ\stackrel\frown{EC}\)
=>EB=EC
=>ΔBEC cân tại E
b:
Xét (O) có
\(\widehat{BAE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
\(\widehat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
Do đó: \(\widehat{BAE}=\widehat{BCE}\)
Xét (O) có
\(\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung EC
\(\widehat{EBC}\) là góc nội tiếp chắn cung EC
Do đó: \(\widehat{CAE}=\widehat{EBC}\)
ΔBEC cân tại E
=>\(\widehat{BEC}=180^0-2\cdot\widehat{EBC}\)
=>\(\widehat{BEC}=180^0-\widehat{EBC}-\widehat{ECB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BEC}=180^0-\widehat{EAC}-\widehat{EAB}=180^0-\widehat{BAC}\left(1\right)\)
Xét ΔABC có \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\widehat{BEC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\)
c: Xét ΔABF và ΔAEC có
\(\widehat{ABF}=\widehat{AEC}\)
\(\widehat{BAF}=\widehat{EAC}\)
Do đó: ΔABF đồng dạng với ΔAEC
=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AF}{AC}\)
=>\(AB\cdot AC=AF\cdot AE\)
d: Xét ΔFAB và ΔFCE có
\(\widehat{FAB}=\widehat{FCE}\)
\(\widehat{AFB}=\widehat{CFE}\)
Do đó: ΔFAB đồng dạng với ΔFCE
=>FA/FC=FB/FE
=>\(FB\cdot FC=FA\cdot FE\)
\(AB\cdot AC-BF\cdot CF\)
\(=AE\cdot AF-AF\cdot FE=AF\cdot\left(AE-FE\right)=AF^2\)
18 tháng 3 2020
\(a)\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\Rightarrow\stackrel\frown{BE}=\stackrel\frown{CE}\Rightarrow BE=CE\)
Do đó \(\Delta BEC\) cân tại $E$
b) Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB};\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\)
Nên: \(\widehat{BEC}=\widehat{AEB}+\widehat{AEC}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\)
c) Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB};\widehat{BAE}=\widehat{FAC}\) nên \(\Delta AEB\) đồng dạng với \(\Delta ACF\left(g-g\right)\) suy ra \(\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AF}} \Leftrightarrow AB.AC = AE.AF(1)\)
d) Ta có: \(\widehat{AEB}=\widehat{ACB;}\widehat{BFE}=\widehat{AFC}\) nên \(\Delta AFC\) đồng dạng với \(\Delta BFE\left(g-g\right)\) suy ra \(\dfrac{{AF}}{{BF}} = \dfrac{{CF}}{{EF}} (2)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.AC-BF.CF=AE.AF-AF.EF=AF.\left(AE-EF\right)=AF^2\)
Mình sẽ làm từ câu C nha vì câu C có liên quan đến câu cuối
c/ Xét tam giác ABF và tam giác AEC ta có :
Góc BAF = góc CAE ( AF là phân giác)
góc ABF = góc AEC ( 2 góc nt chắn cung AC)
=>tam giác ABF đồng dạng tam giác AEC (g-g)
=>\(\frac{AB}{AE}=\frac{AF}{AC}\)=>AB.AC=AE.AF
d/ Xét tam giác ABF và tam giác CFE ta có:
góc ABF = góc FEC ( 2 góc nt chắn cung AC )
góc BAF = góc FCE (2 góc nt chắn cung EB )
=> tam giác ABF đồng dạng tam giác CEF (g-g)
=>\(\frac{FB}{FE}=\frac{FA}{FC}\)=>FB.FC=FA.FE
Ta có AF.AE=AB.AC (cmt)
AF.FE=BF.CF (cmt)
=> AF.AE-AF.FE = AB.AC - BF.CF
=> AF(AE-FE) = AB.AC - BF.CF
=> \(AF^2=AB.AC-BF.CF\)
a) Xét (O) có AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
=> sđBE=sđCE
=> BE=CE (liên hệ giữa cung và dây cung)
=> tam giác BEC cân tại E (đpcm)
b) Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^BAC+^BEC=180 độ (2 góc đối nhau)
<=> ^BEC=180 độ - ^BAC
Tam giác ABC có ^BAC+^ABC+^BCA=180 độ
=> =180 độ - ^BAC=^ABC+^BCA
Suy ra Góc BEC = góc ABC + góc ACB (đpcm)
c) AE là tia phân giác của góc BAC
=> ^BAE=^CAE
Hay ^BAF=^CAE
Tứ giác ABEC nội tiếp (O)
=> ^ABC=^AEC (2 góc nt chắn cung AC)
Hay ^ABF=^AEC
Xét tam giác ABF và tam giác AEC có:
^ABF=^AEC
^BAF=^CAE
=> tam giác ABF ~ tam giác AEC (g-g)
=> AB/AF=AE/AC
<=> AB.AC=AE.AF (đpcm)