Cho x,y,z dương. Tìm GTNN của biểu thức
\(A=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2018
Gọi \(T=...\)
\(T+3=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+1+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+1+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+1\)
\(T+3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{9}{2}\)\(\Rightarrow\)\(T\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
...
22 tháng 12 2018
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\\\sqrt{z}=c\end{cases}\left(a,b,c>0\right)}\)
Đặt \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a+b}{a+b}\)
\(2\left(P+3\right)=2.\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(2\left(P+3\right)=\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2\left(P+3\right)\ge3.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}=9.\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\)
\(\left(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow P+3\ge4,5\)
\(\Leftrightarrow P\ge1,5\)
\(P=1,5\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy \(P_{min}=1,5\Leftrightarrow x=y=z\)
10 tháng 10 2019
Theo giả thiết \(\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{xy}{z}}=3\)
\(\Rightarrow\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)
Mặt khác , ta có BĐT phụ : \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)
Ta có : \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\ge2.\sqrt{9}+\frac{2007}{3}=675\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
18 tháng 10 2020
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
HD
18 tháng 12 2015
bài này dễ nhưng bạn phải chứng minh bđt này đã:
\(\frac{1}{a+b+c+d}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\)
với a;b;c;d là các số dương
bạn có thể cm bđt trên bằng cách biến đổi tương đương hoặc cm bđt Schwat (Sơ-vác)
Mình là 1 phần tử đại diện còn lại là hoàn toàn tt nhé
ta có \(\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{1}{2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\right)\)
Tương tự ta cm được
\(VT\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}\right)\)\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)
dấu "=" khi x=y=z
29 tháng 7 2021
Nhớ mang máng câu này hồi trước có giải rồi. Thôi tự vô tìm đi nha
