Question

[tuyết lang]

cho x,y thỏa mãn x²+y²=1.

tìm GTNN và GTLN của M= \(\sqrt{3}xy+y^2\)

Answer 1

[Nguyễn Hưng Phát]

\(M=\sqrt{3}xy+y^2=\frac{1}{2}\left(x^2+2\sqrt{3}xy+3y^2\right)-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2\)

\(=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\).

Nên GTNN của M là \(-\frac{1}{2}\) đạt được khi  \(x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}\)

 +,Với \(y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

+,Với \(y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta lại có:\(M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}\)

Nên GTLN của M là \(\frac{3}{2}\) đạt được khi \(\sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}\)

 +,Với \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

 +,Với \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Answer 2

[Bùi Tiến Dũng]

M=3xy+y2=21​(x2+23​xy+3y2)−21​x2−21​y2

=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{3}y\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}=21​(x+3​y)2−21​≥−21​.

Nên GTNN của M là -\frac{1}{2}−21​ đạt được khi  x=-\sqrt{3}y\Rightarrow x^2=3y^2\Rightarrow4y^2=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{2}x=−3y⇒x2=3y2⇒4y2=1⇒y=±21​

 +,Với y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}y=21​⇒x=−23​​

+,Với y=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{2}y=−21​⇒x=23​​

Ta lại có:M=\sqrt{3}xy+y^2\le\frac{3x^2+y^2}{2}+y^2=\frac{3x^2+3y^2}{2}=\frac{3}{2}M=3xy+y2≤23x2+y2​+y2=23x2+3y2​=23​

Nên GTLN của M là \frac{3}{2}23​ đạt được khi \sqrt{3}x=y\Rightarrow3x^2=y^2\Rightarrow4x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}3x=y⇒3x2=y2⇒4x2=1⇒x=±21​

 +,Với x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}x=21​⇒y=23​​

 +,Với x=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x=−21​⇒y=−23​​