Question

[Thanh Thư Trần Thị]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến AM(M thuộc BC). Lấy điểm P trên cạnh AB sao cho P khác A và B, vẽ đường thẳng song song với BC và AM, hai đường thẳng này cắt AM và BC lần lượt ở N và K.

a) Chứng minh PNMK là hình bình hành

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA. Chứng minh ABDC là hình chữ nhật

c) Chứng minh PK+PN=AD/2

d) Xác định vị trí của điểm P trên cạnh AB để tứ giác PNMK là hình thoi

e) Tìm điều kiện để tứ giác PNMK là hình vuông

Answer 1

[KAITO KID]

a) Ta có: $DE+DF=2AM⟺\frac{DE}{AM}+\frac{DF}{AM}=2⟺\frac{BD}{BM}+\frac{DC}{MC}=2⟺\frac{BC}{BM}=2$(đúng do $MB=MC$).

b) Ta có: $NA\parallel DM;ND\parallel AM⟹NAMD$ là hình bình hành.

$⟹NA=DM$.

Khi đó: $\frac{NF}{NE}=\frac{NF}{ND}.\frac{ND}{NE}=\frac{AF}{AC}.\frac{AN+DB}{AN}=\frac{DM}{MC}.\frac{BM}{DM}=1⟹NE=NF$.

c) Ta có: $S_{FDC}^2\ge 16S_{AMC}.S_{FNA}⟺\frac{S_{FDC}}{S_{AMC}}.\frac{S_{FDC}}{S_{FNA}}\ge 16⟺(\frac{DC}{MC}{)}^2.(\frac{DC}{NA}{)}^2\ge 16⟺D{C}^4\ge 16M{C}^2.D{M}^2⟺(DM+MC{)}^4\ge 16MC.DM⟺DM+MC\ge 2\sqrt{MC.DM}$