goi a,b,c la 3 canh cua ΔABC
biet \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=\)8
cm ΔABC deu
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
5 tháng 3 2020
Ta có:
(1 + b/a)(1 + c/b)(1 + a/c) = 8
<=> (a + b)/a.(b + c)/b.(c + a)/c = 8
<=> (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương a, b, c ta được:
a + b ≥ 2√(ab)
b + c ≥ 2√(bc)
c + a ≥ 2√(ca)
=> (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√(a^2.b^2.c^2) = 8|abc| = 8abc (vì a, b,c > 0)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b; b = c; c = a <=> a = b = c <=> ΔABC đều
TH
5 tháng 3 2020
https://olm.vn/hoi-dap/detail/2293581520.html cậu tham khảo nhé !
23 tháng 10 2018
Gọi S là diện tích của tam giác
Ta có :
\(a=\frac{2S}{h_a};b=\frac{2S}{h_b};c=\frac{2S}{h_c}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(a+b+c\right)\left(\frac{h_a+h_b+h_c}{2S}\right)\)
\(=\left(h_a+h_b+h_c\right).\frac{a+b+c}{2S}=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\)
=> đpcm
S
25 tháng 9 2018
\(VT=\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{\left(b-a\right)-\left(c-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}+\frac{\left(c-b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c-b\right)\left(a-b\right)}+\frac{\left(a-c\right)-\left(b-c\right)}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)
\(=\frac{1}{c-a}-\frac{1}{b-a}+\frac{1}{a-b}-\frac{1}{c-b}+\frac{1}{b-c}-\frac{1}{a-c}\)
\(=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)
\(=2\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)=VP\left(đpcm\right)\)
Ta thấy: a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a;b;c >0
Từ giả thiết, ta có: \(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)(*)
Áp dụng BĐT AM-GM (với a;b;c > 0)\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)(**)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
Từ (*) và (**) => \(a=b=c\) tức là \(\Delta\)ABC đều (đpcm).