Chứng minh: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) với a,b\(\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
1
23 tháng 3 2017
xét hiệu \(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\)
quy đồng làm nốt nha
NG
1
VH
2
31 tháng 5 2015
\(\frac{1}{\left(1+a^2\right)}+\frac{1}{\left(1+b^2\right)}>=\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a^2\right)}+\frac{1}{\left(1+b^2\right)}-\frac{2}{\left(1+ab\right)}>=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{1}{\left(1+a^2\right)}-\frac{1}{\left(1+ab\right)}\right]+\left[\frac{1}{\left(1+b^2\right)}-\frac{1}{\left(1+ab\right)}\right]>=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a\left(b-c\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}\right]+\left[\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\right]>=0\)
\(\frac{\left[a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)-b\left(b-a\right)\left(1+a^2\right)\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\)
\(\frac{\left[\left(b-a\right)\left(a+ab^2-b+ba^2\right)\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\)
\(\frac{\left[\left(b-a\right)\left[\left(a-b\right)+ab\left(b-a\right)\right]\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\)
\(\frac{\left[\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)\right]}{\left[\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)^2\right]}>=0\left(1\right)\)
Mẫu số luôn lớn hơn 1
\(\left(b-a\right)^2>=0\) voi moi a,b
Vì a,b >=1 nên ( ab-1) > = 0
Nên (1) dụng
S
11 tháng 7 2019
\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2+2bc+c^2\\b^2=a^2+2ac+c^2\\c^2=a^2+2ab+b^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2-a^2=-2bc\\a^2+c^2-b^2=-2ac\\a^2+b^2-c^2=-2ab\end{matrix}\right.\Rightarrow P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ac}+\frac{1}{-2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
VH
11 tháng 7 2019
a) \(P=\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{a^2+c^2-b^2}\) ( Sửa đề )
\(P=\frac{1}{\left(b+c\right)^2-2ab-a^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2-2ab-c^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2-2ac-b^2}\)
Vì a + b + c = 0
Nên a + b = -c
=> ( a + b )2 = (-c)2 = c2
Tương tự: ( b + c )2 = a2 và ( a + c )2 = b2
\(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2-2bc-a^2}+\frac{1}{c^2-2ab-c^2}+\frac{1}{b^2-2ac-b^2}\)
\(P=\frac{1}{-2bc}+\frac{1}{-2ab}+\frac{1}{-2ac}\)
\(P=\frac{a+b+c}{-2abc}=\frac{0}{-2abc}=0\)
TT
6 tháng 2 2020
Nếu không áp dụng BĐT thì chuyển vế cũng được nhưng hơi dài :
Mình thử làm thôi nhé :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}-\frac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2-2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{2+a^2+b^2-2-2b^2-2a^2-2\left(ab\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(=\frac{-\left(a^2+b^2+2a^2b^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
....
23 tháng 3 2020
Giải bất mà không được dùng bất ? Vô lý thế ??
Bài Đạt chưa làm hết,mình làm nốt nha !
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
25 tháng 9 2017
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Bạn cần biết \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (nếu bạn chưa biết thì xét hiệu)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\)
\(\ge\frac{4}{1+a^2+1+b^2}\)
\(=\frac{4}{a^2+b^2+2}\)
\(\ge\frac{4}{2ab+2}=\frac{2}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)