Question

[Phan Thị Huyền]

1. Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CK.

a) Tính BC, CK, BK và AK biết AB = 10cm , AC=8cm.

b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K trên BC và AC. Tứ giác CHKI là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh; \(\text{CB.CH=CA.CI}\)

d) Chứng minh: \(\dfrac{AI}{BH}=\dfrac{AC^3}{BC^3}\)

e) \(AB\cdot BH\cdot AI=CK^3\)

f) Gọi M là hình chiếu của K trên IH. Chứng minh: \(\dfrac{1}{KM^2}=\dfrac{1}{CH^2}+\dfrac{1}{CI^2}\)

2. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AH và BK. Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại D. Chứng minh:

a) \(BD=2AH\)

b) \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{DC^2}+\dfrac{1}{4HA^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

a)

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\) (cm)

\(S_{ABC}=\frac{AC.CB}{2}=\frac{AB.CK}{2}\Rightarrow CK=\frac{AC.CB}{AB}=\frac{8.6}{10}=4,8\) (cm)

Áp dụng định lý Pitago:

\(BK=\sqrt{CB^2-CK^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6\) (cm)

\(AK=BA-BK=10-3,6=6,4\) (cm)

b)

\(KH\perp BC, KI\perp AC\Rightarrow \widehat{KHC}=\widehat{KIC}=90^0=\widehat{HCI}\)

Tứ giác $KHCI$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

c)

Xét tam giác $CHK$ và $CKB$ có:

Góc $C$ chung

\(\widehat{CHK}=\widehat{CKB}=90^0\)

\(\Rightarrow \triangle CHK\sim \triangle CKB(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{CH}{CK}=\frac{CK}{CB}\Rightarrow CH.CB=CK^2(1)\)

Hoàn toàn tương tự: \(\triangle CKI\sim \triangle CAK(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{CK}{CA}=\frac{CI}{CK}\Rightarrow CA.CI=CK^2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow CH.CB=CA.CI\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1:

d)

Vì \(HK\parallel AC\Rightarrow \frac{BH}{BK}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow BH=\frac{BK.BC}{AB}\) (định lý Ta-let)

Tương tự: \(\frac{AI}{AK}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AI=\frac{AK.AC}{AB}\)

\(\Rightarrow \frac{AI}{BH}=\frac{AK}{BK}.\frac{AC}{BC}\)

Xét tam giác $BKC$ và $BCA$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \text{góc B chung}\\ \widehat{BKC}=\widehat{BCA}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BKC\sim \triangle BCA(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{BK}{BC}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow BK=\frac{BC^2}{BA}\) (cái này là công thức hệ thức lượng quen thuộc, mình chỉ chứng minh lại thôi nhé)

Tương tự: \(AK=\frac{AC^2}{AB}\)

\(\Rightarrow \frac{AK}{BK}=\frac{AC^2}{BC^2}(4)\)

Từ \((3);(4)\Rightarrow \frac{AI}{BH}=\frac{AC^2}{BC^2}.\frac{AC}{BC}=\left(\frac{AC}{BC}\right)^3\) (đpcm)

e)

Áp dụng những công thức thu từ phần d:

\(AB.BH.AI=AB.\frac{BK.BC}{BA}.\frac{AK.AC}{AB}=\frac{AK.BK.BC.AC}{AB}\)

Mà \(AK=\frac{AC^2}{AB}; BK=\frac{BC^2}{AB}\Rightarrow AB.BH.AI=\left(\frac{AC.BC}{AB}\right)^3\)

\(=\left(\frac{2S_{ABC}}{AB}\right)^3=CK^3\) (đpcm)

f)

Ta có: \(S_{KHI}=\frac{KH.KI}{2}=\frac{KM.HI}{2}\)

\(\Rightarrow KM=\frac{KH.KI}{HI}\Rightarrow KM^2=\frac{KH^2.KI^2}{HI^2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{KM^2}=\frac{HI^2}{KH^2.KI^2}=\frac{KH^2+KI^2}{KH^2.KI^2}=\frac{1}{KI^2}+\frac{1}{KH^2}\) (Pitago)

Mà theo phần b ta cm được $KHCI$ là hcn nên \(KI=CH; KH=CI\)

\(\Rightarrow \frac{1}{KM^2}=\frac{1}{CH^2}+\frac{1}{CI^2}\) (đpcm)