Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1991}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 6 2019
\(VD3,\sqrt{x+\sqrt{x}}=y\left(x\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\ge0\\x+\sqrt{x}=y^2\end{cases}}\)
Dễ thấy x phải là số chính phương
Đặt \(x=a^2\left(a\in N\right)\)
\(\Rightarrow a^2+a=y^2\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=y^2\)
Vì VP là số chính phương nên \(a\left(a+1\right)\)là số chính phương
Mà a và a + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp và a < a + 1
Nên a = 0 (tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 scp thì phải có 1 số bằng 0 mà a < a + 1 nên a = 0)
Khi đó x = 0 ; y = 0
Vậy pt có nghiệm nguyên (x;y)=(0;0)
17 tháng 6 2019
VD1
<=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x+\left(\frac{4}{5}\right)^x=1\)
+ \(x=0;1\)không thỏa mãn
+ \(x=2\)=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1\)đúng
+ \(x>2\)
=> \(\left(\frac{3}{5}\right)^x< \left(\frac{3}{5}\right)^2,\left(\frac{4}{5}\right)^x< \left(\frac{4}{5}\right)^2\)
=> \(VT< 1\)(loại)
Vậy x=2
KV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 2 2021
Lời giải:
PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1$
$\Rightarrow x+y+3=(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1)^2$
$\Leftrightarrow x+y+3=x+y+1-2(\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy})$
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0(*)$
$\Rightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(\sqrt{xy}-1)^2$
$\Rightarrow 4\sqrt{xy}=xy+1-x-y\in\mathbb{Z}$
Ta có nhận xét sau: Với số không âm $a$ bất kỳ thì khi $\sqrt{a}$ là số hữu tỉ thì $\sqrt{a}$ cũng là số chính phương.
Do đó: $\sqrt{xy}$ là scp
Kết hợp $(*)$ suy ra $\sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$
$\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x+\sqrt{xy}\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\in\mathbb{Q}$
$\Rightarrow \sqrt{x}$ là scp. Kéo theo $\sqrt{y}$ là scp.
Từ $(*)$ ta cũng có $(\sqrt{x}-1)(1-\sqrt{y})=-2$
Đến đây thì với $\sqrt{x}, \sqrt{y}\in\mathbb{Z}$ ta có pt tích khá đơn giản.
NM
2
3 tháng 6 2021
\(\sqrt{x+y+3}+1=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
Bình phương 2 vế, ta có:
\(x+y+3+1=x+y\)
\(x+y+3+1-x-y=0\)
\(4=0\) (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm
-Chúc bạn học tốt-
Y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2021
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)
\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)
\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)
Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)
M3
1
31 tháng 12 2018
ĐKXĐ: x;y > 0
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2-x\)(bình phương + chuyển vế)
Vì \(\hept{\begin{cases}x;y\inℤ\\x;y\ge0\end{cases}\Rightarrow}x;y\inℕ\)
\(\Rightarrow y^2-x\inℕ\)(Vì VP > 0 nên VT > 0 mà 2 số này thuộc N nên hiệu của chúng thuộc N)
Đặt \(y^2-x=a\left(a\inℕ\right)\)
Khi đó \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=a\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=a^2-x\)(bình phương+chuyển vế)
Tương tự như trên
Đặt \(a^2-x=b\left(b\inℕ\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}}=b\)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x}=b^2\left(1\right)\)
Từ (1) => \(\sqrt{x}\inℕ\)
Ta có: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=b^2\)
Vì \(\sqrt{x}\)và \(\sqrt{x}+1\)là 2 số tự nhiên liên tiếp
Mà b2 là số chính phương
\(\Rightarrow\sqrt{x}=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow y=0\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0)
MT
0
DN
0
HC
0
HT
0
TM
0
Lời giải:
\(\sqrt{1991}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq \sqrt{x}\Rightarrow x\leq 1991\)
Ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1991}\Rightarrow \sqrt{y}=\sqrt{1991}-\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow y=(\sqrt{1991}-\sqrt{x})^2=1991+x-2\sqrt{1991x}\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{1991x}=1991+x-y\) là một số nguyên không âm.
Đặt \(2\sqrt{1991x}=t\) với $t$ là một số tự nhiên chẵn.
\(\Rightarrow 2^2(1991x)=t^2\)
\(\Rightarrow 1991x\) là số chính phương. Mà \(1991x=11.181.x\) nên $x$ phải có dạng \(11.181m^2\)
\(x\leq 1991\Rightarrow 11.181m^2\leq 1991\Rightarrow m^2\leq 1\Rightarrow m=\left\{0;1\right\}\)
+) $m=1$ thì $x=1991,y=0$
+) $m=0$ thì $x=0, y=1991$
Thầy/ cô ơi, có thể cho em hỏi tại sao
22(1991x) = t2 thì lại có thể suy ra 1991x là số chính phương ạ? Với lại tại sao 1991x = 11.181.x thì x có dạng 11.181m2 ạ?
Xin thầy/ cô giải đáp ạ. Em xin cảm ơn