Cho số thực x,y thoả mãn x + y = 1, x,y \(\ne\)1. Chứng minh rằng :
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+3}\)
Mong mọi người giúp đỡ. Cảm ơn mọi người nhiều !
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
b/ ĐKXĐ: ...
\(2x^3-2y^3+5x-5y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x^2+2xy+2y^2\right)+5\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x^2+2xy+2y^2+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+5\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\) (ngoặc sau luôn dương)
Thế vào pt dưới:
\(\frac{3x}{x^2+x+1}+\frac{5x}{x^2+3x+1}=2\)
Nhận thấy \(x=0\) ko phải nghiệm, pt tương đương:
\(\frac{3}{x+\frac{1}{x}+1}+\frac{5}{x+\frac{1}{x}+3}=2\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}+1=t\)
\(\Rightarrow\frac{3}{t}+\frac{5}{t+2}=2\Leftrightarrow3\left(t+2\right)+5t=2t\left(t+2\right)\)
\(\Leftrightarrow2t^2-4t-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{1}{x}+1=-1\\x+\frac{1}{x}+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+2x+1=0\\x^2-2x+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
a/ ĐKXĐ: ...
\(2x-\frac{1}{y}=2y-\frac{1}{x}\Leftrightarrow\frac{2xy-1}{y}=\frac{2xy-1}{x}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\2xy-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x=y\Rightarrow6x^2=7x^2-8\Rightarrow x^2=8\Rightarrow...\)
TH2: \(xy=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2x}\)
\(\Rightarrow2\left(2x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+4\left(x-\frac{1}{2x}\right)=\frac{7}{2}-8\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+8\left(x-\frac{1}{2x}\right)+9+4x^2=0\)
Đặt \(x-\frac{1}{2x}=t\Rightarrow x^2+\frac{1}{4x^2}=t^2+1\)
\(\Rightarrow4\left(t^2+1\right)+8t+9+4x^2=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(t+1\right)^2+4x^2+9=0\)
Vế trái luôn dương nên pt vô nghiệm
T
3 tháng 6 2019
Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi
Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)
\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:
\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))
Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z
Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))
Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)
\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)
Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)
\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)
Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)
Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chứng minh hoàn tất
T
3 tháng 6 2019
Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.
Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)
\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)
BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)
Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!
6 tháng 11 2018
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
CC
2 tháng 2 2020
\(x+y=1\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=-y\\y-1=-x\end{cases}}\)
Ta có: \(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}=\frac{x}{\left(y-1\right)^3+3y\left(y-1\right)}-\frac{y}{\left(x-1\right)^3+3x\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x}{-x^3-3xy}-\frac{y}{-y^3-3xy}=\frac{x}{-x\left(x^2+3y\right)}-\frac{y}{-y\left(y^2+3x\right)}\)
\(=\frac{-1}{x^2+3y}+\frac{1}{y^2+3x}=\frac{-\left(y^2+3x\right)+\left(x^2+3y\right)}{\left(x^2+3y\right)\left(y^2+3x\right)}=\frac{-y^2-3x+x^2+3y}{x^2y^2+3x^3+3y^3+9xy}\)
\(=\frac{\left(x^2-y^2\right)-3\left(x-y\right)}{x^2y^2+3\left(x^3+y^3\right)+9xy}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)-3\left(x-y\right)}{x^2y^2+3\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+9xy}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)-3\left(x-y\right)}{x^2y^2+3\left(1-3xy\right)+9xy}=\frac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3-9xy+9xy}=\frac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=\frac{-2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)( đpcm )
30 tháng 3 2020
Ta có \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)
Xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
<=> \(x^3\ge\left(2018^2-2.2018.x+x^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)
<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2018.2\right)+x\left(2018.1009+2018^2\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\)
<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}\left(x^2-\frac{2.2018}{3}.x+\left(\frac{2018}{3}\right)^2\right)\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)
=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
Khi đó \(VT\ge x-\frac{1009}{2}+y-\frac{1009}{2}+z-\frac{1009}{2}=2018-\frac{3}{2}.1009=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)
30 tháng 3 2020
Ta có : \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\)
xét \(\frac{x^3}{\left(2018-x\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
<=> \(x^3\ge\left(x^2-2.2018.x+2018^2\right)\left(x-\frac{1009}{2}\right)\)
<=> \(x^3\ge x^3-x^2\left(\frac{1009}{2}+2.2018\right)+x\left(2018^2+1009.2018\right)-\frac{2018^2.1009}{2}\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}x^2-6.1009^2.x+2018.1009^2\ge0\)
<=> \(\frac{9081}{2}.\left(x-\frac{2018}{3}\right)^2\ge0\)( luôn đúng)
=> \(\frac{x^3}{\left(y+z\right)^2}\ge x-\frac{1009}{2}\)
Khi đó \(P\ge x+y+z-\frac{3.1009}{2}=\frac{1009}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2018}{3}\)
\(\frac{x}{y^3-1}-\frac{y}{x^3-1}\)
\(=\frac{1-y}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}-\frac{1-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\frac{-1}{y^2+y+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\)
\(=\frac{-x^2-x-1+y^2+y+1}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}\)
\(=\frac{\left(y^2-x^2\right)+y-x}{x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y^2+y+1}\)
\(=\frac{\left(y-x\right)\left(y+x\right)+y-x}{x^2y^2+x^2y+xy^2+x^2+xy+y^2+x+y+1}\)
\(=\frac{y-x+y-x}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x\left(x+y\right)+y^2+x+y+1}\)
\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+xy+x+y^2+x+y+1}\)
\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+x\left(y+1\right)+y^2+x+y+1}\)
\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+\left(1-y\right)\left(y+1\right)+y^2+\left(x+y\right)+1}\)
\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+1-y^2+y^2+1+1}\)
\(=\frac{2\left(y-x\right)}{x^2y^2+3}\)