Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y ta luôn có: $\sqrt{\dfrac{x^2 4y^2}{2}} \sqrt{\dfrac{x^2 2xy 4y^2}{3}}\ge x 2y$ Bài 2. Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2 xy y^2}...

VT

Việt Tuân Nguyễn Đặng

25 tháng 7 2018

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y ta luôn có: $\sqrt{\dfrac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+2xy+4y^2}{3}}\ge x+2y$ Bài 2. Cho x, y, z là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng: $\sqrt{x^2+xy+y^2}\sqrt{y^2+yz+z^2}\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)$ Bài 3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\sqrt{2z^2+zx+2x^2}$ Bài 3. Cho x, y, z là các số...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NH

Nguyễn Huy Thắng

3 tháng 9 2018

hình như thiếu cái gì đó

Đúng(0)

VT

Việt Tuân Nguyễn Đặng

4 tháng 9 2018

Đề bài đủ rồi bạn nhé.

Đúng(0)

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 1: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, chứng minh rằng: $2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge5$Bài 2: Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0, z = max {x, y, z), chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4$Bài 3:Với x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz > 0 và x + y + z = 2,chứng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

LT

Lê Trường Lân

15 tháng 5 2020

Bài 3 thì $\le1$

Bài 4 thì $\ge\frac{3}{4}$ nhé

Đúng(0)

TC

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

8 tháng 4 2021

a. Cho $x$, $y$ là hai số thực bất kì. Chứng minh $x^2 - xy + y^2 \ge \dfrac13(x^2+xy+y^2).$

b. Cho $x$, $y$, $z$ là ba số thực dương thỏa mãn $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 2$. Chứng minh

$\dfrac{x\sqrt x}{x +\sqrt{xy} + y} + \dfrac{y\sqrt y}{y +\sqrt{yz} + z} + \dfrac{z\sqrt z}{z +\sqrt{zx} + x} \ge \dfrac23.$

#Toán lớp 9

16

PT

Phạm Thành Đông

8 tháng 4 2021

a) Giả sử $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)$

$\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2$

$\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0$

$\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0$(luôn đúng với mọi $x,y\in R$).

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow x=y$.

Vậy $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$với $x,y\in R$.

Đúng(0)

PT

Phạm Thành Đông

8 tháng 4 2021

Đặt $A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)$

Và đặt $B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)$

Đặt $\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)$thì theo đề bài : $m+n+p=2$

Lúc đó:

$A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}$

$A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}$

Và $B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}$

Xét hiệu $A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)$

$\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0$

$\Leftrightarrow A=B$

Xét $A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}$

$\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}$

Theo câu a), ta có $x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)$với $x,y\in R$

$\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

Áp dụng bất đẳng thức (1) (với $m,n>0$), ta được:

$\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow m=n>0$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow n=p>0$

$\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)$

Dấu bằng xảy ra$\Leftrightarrow p=m>0$

Từ $\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)$, ta được:

$\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}$$+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}$

$\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}$

$\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}$

$\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}$

$\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}$(vì $m+n+p=2$) (điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

$\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}$$\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}$

Vậy nếu $x,y,z>0$ và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2$thì: $\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}$.

Đúng(0)

NH

Nguyễn Hoàng Sinh

22 tháng 12 2022

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1
Chứng minh rằng $\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

22 tháng 12 2022

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

$P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}$

$P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

Đúng(3)

DH

dinh huong

17 tháng 8 2021

viết các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1,chứng minh rằng

$\sqrt{\dfrac{x^4+y^4+z}{3z^3}}+\sqrt{\dfrac{y^4+z^4+x}{3x^3}}+\sqrt{\dfrac{z^4+x^4+y}{3y^3}}\ge x^2+y^2+z^2$

Mọi người giúp em với em cần gấp ạ

#Toán lớp 9

0

2

๖²⁴ʱ乂ų✌й๏✌ρɾ๏༉

25 tháng 6 2023

cho các số thực dương x,y,z thoả mãn $\sqrt{x}$ + $\sqrt{y}$ + $\sqrt{z}$ = 1chứng minh rằng...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

DT

Duong Thi Minh

7 tháng 5 2017

Giải chi tiêt hộ mk.

Chứng minh rằng với mọi x,y ta luôn có:

√((x^2+4y^2)/2)+√((x^2+2xy+4y^2)/3)$\ge$x+2y.

#Toán lớp 9

1

LV

Lầy Văn Lội

8 tháng 5 2017

$\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{x^2+2xy+4y^2}{3}}=\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{4y^2}{2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{3}+\frac{y^2}{1}}$

$\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{2+2}}+\sqrt{\frac{\left(x+y+y\right)^2}{3+1}}=\frac{x+2y}{2}+\frac{x+2y}{2}=x+2y$

Đúng(0)

VH

Vũ Hoài Thu

29 tháng 5 2023

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=12. Chứng minh rằng:

$\sqrt[x]{\dfrac{\left(12+y^2\right)\left(12+z^2\right)}{12+x^2}}$+ $\sqrt[y]{\dfrac{\left(12+x^2\right)\left(12+z^2\right)}{12+y^2}}$+ $\sqrt[z]{\dfrac{\left(12+x^2\right)\left(12+y^2\right)}{12+z^2}}$

#Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

29 tháng 5 2023

Chứng minh gì bạn?

Đúng(0)

VT

Vũ Tiền Châu

29 tháng 9 2017

Câu hỏi hay

cho x,y,z>0 và $x+y+z=\dfrac{3}{2}$

chứng minh rằng $\dfrac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\dfrac{\sqrt{z^2+xz+x^2}}{4xy+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

#Toán lớp 9

1

N

Neet

30 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT AM-GM:

$VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}$

Set $\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.$thì giả thiết trở thành $a+b+c=3$ và cần chứng minh $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

$\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}$( đến đây quen thuộc rồi)

Ta có:$\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}$(AM-GM)

$VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}$( AM-GM)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Đúng(0)

VT

Vũ Tiền Châu

30 tháng 9 2017

cảm ơn bạn nhé

Đúng(0)

DM

Đàm Minh Quang