Question

[Trần Minh Hiếu]

Cho tam giác ABC có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H.Gọi I là trung điểm của đoạn AH và K là trung điểm của BC

a)Chứng minh FK vuông góc với FI

b)Biết AH=6cm,BC=8cm.Tính IK

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a)

Tính chất: Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ bất kỳ, đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền.

Chứng minh:

Trên tia đối của tia $MA$ lấy $N$ sao cho $MA=MN$

Ta dễ dàng chứng minh được \(BACN\) là hình bình hành có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật. Khi đó: \(MA=\frac{1}{2}NA=\frac{1}{2}BC\) (đpcm)

-------------------------

Áp dụng vào bài toán:

Xét tam giác vuông $AFH$ có $FI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(FI=\frac{1}{2}AH=IH\)

\(\Rightarrow \triangle IFH\) cân tại $I$

\(\Rightarrow \widehat{IFH}=\widehat{IHF}=90^0-\widehat{BAH}\)

Tương tự, trong tam giác vuông $BFC$: \(FK=KC\Rightarrow \) tam giác $KFC$ cân tại $K$

\(\Rightarrow \widehat{KFH}=\widehat{KCF}\)

Do đó:
\(\widehat{IFK}=\widehat{IFH}+\widehat{KFH}=90^0-\widehat{BAH}+\widehat{KCF}\)

Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{KCF}\) (cùng bằng \(90^0-\widehat{BAC}\))

Suy ra: \(\widehat{IFK}=90^0\Rightarrow FK\perp FI\) (đpcm)

b)

\(FI=\frac{1}{2}AH=3\)

\(FK=\frac{1}{2}BC=4\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $FIK$

\(IK=\sqrt{FI^2+FK^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\) (cm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Hình vẽ: