K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
14 tháng 9 2021

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{bc}}=\dfrac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{3b}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge\dfrac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\)

Cộng vế:

\(3\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\Rightarrow\) đpcm

NV
16 tháng 9 2021

Từ bài toán này (mà bạn đã hỏi cách đây vài bữa):

cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\) - Hoc24

Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)

Do đó: \(VT\ge\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\)

Lại có: \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=3\)

Đặt \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=x\ge3\Rightarrow VT\ge x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{8x}{9}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{9x}}+\dfrac{8}{9}.3=\dfrac{10}{3}\) (đpcm)

30 tháng 9 2017

ta có : \(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ca+\dfrac{c^3}{a}+ab-\left(ac+bc+ab\right)\)

\(=\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ca+\dfrac{c^3}{a}+ab-\left(\dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ac}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ac}{2}\right)\)

\(\ge2.\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.bc}+2\sqrt{\dfrac{b^3}{c}.ca}+2\sqrt{\dfrac{c^3}{a}.ab}-2\sqrt{\dfrac{ab.bc}{4}}-2\sqrt{\dfrac{ab.ac}{4}}-2\sqrt{\dfrac{bc.ac}{4}}\)

\(\ge2a\sqrt{ac}+2b\sqrt{ba}+2c\sqrt{cb}-b\sqrt{ac}-a\sqrt{bc}-c\sqrt{ab}=a\sqrt{ac}+b\sqrt{ba}+c\sqrt{cb}\left(ĐPCM\right)\)

30 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

BĐT cần chứng minh tương đương :

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(\sqrt{a^3c}+\sqrt{b^3a}+\sqrt{c^3b}\right)\)

Thật vậy, Áp dụng BĐT \(\left(X+Y+Z\right)^2\ge3\left(XY+YZ+ZX\right)\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}X=a+\sqrt{bc}-\sqrt{ac}\\Y=b+\sqrt{ac}-\sqrt{ab}\\Z=c+\sqrt{ab}-\sqrt{bc}\end{matrix}\right.\) ta có ngay ĐPCM. ( mất chút time khai triển)

Dấu = xảy ra khi X=Y=Z hay a=b=c

13 tháng 7 2021

Đặt x=\sqrt{\dfrac{a}{b}},y=\sqrt{\dfrac{b}{c}},z=\sqrt{\dfrac{c}{a}} thì  x,y,z>0 và xyz=1 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành      x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương ta có

                x^3+x^3+1^3\ge3\sqrt[3]{x^3.x^3.1^3} hay  2x^3+1\ge3x^2.

Tương tự, 2y^3+1\ge3y^2;2z^3+1\ge3z^2. Cộng theo vế các bất đẳng thức nhận được ta có            2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)

                                                      =2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}

  \ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\sqrt[3]{1}

Do đó         x^3+y^3+z^3\ge x^2+y^2+z^2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  

       x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c>0.

29 tháng 8 2021

x=y=z=1

Ko lq nhưng ta chuẩn hóa \(a+b+c=3\). So:

\(M\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3}{2}\)

NV
19 tháng 4 2022

Đề bài sai

Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)

19 tháng 4 2022

à mình quên < hặc =1/2