K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 7 2018

\(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+b^2\ge5\sqrt[5]{\dfrac{a^{20}b^2}{b^{12}}}=5.\dfrac{a^4}{b^2}\)

\(\Rightarrow4.\dfrac{a^5}{b^3}+b^2\ge5.\dfrac{a^4}{b^2}\)

Tương tự: \(4.\dfrac{b^5}{c^3}+c^2\ge5\dfrac{b^4}{c^2};4\dfrac{c^5}{a^3}+a^2\ge5.\dfrac{c^4}{a^2}\)

\(\Rightarrow4\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)+a^2+b^2+c^2\ge5\left(\dfrac{c^4}{a^2}+\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}\right)\)

Lại có: \(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+b^2+b^2+b^2\ge5a^2\)

\(\Rightarrow2.\dfrac{a^5}{b^3}+3b^2\ge5a^2\), tương tự: \(2.\dfrac{b^5}{c^3}+3c^2\ge5b^2;2\dfrac{c^5}{a^3}+3a^2\ge5c^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}+4.\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)\ge4.\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)+a^2+b^2+c^2\ge5.\left(\dfrac{c^4}{a^2}+\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}\right)\)

\(\Rightarrow dpcm\)

25 tháng 7 2018

giả sử \(a>b>c>0\) thì ta có :

\(\dfrac{a^4}{b^2}\left(\dfrac{a}{b}-1\right)+\dfrac{b^4}{c^2}\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+\dfrac{c^4}{a^2}\left(\dfrac{c}{a}-1\right)\ge\dfrac{2a^2b}{c}+\dfrac{c^5}{a^3}-\dfrac{c^4}{a^2}\)

\(\ge\dfrac{2c^4b}{a}-\dfrac{c^4}{a^2}=\dfrac{c^4}{a}\left(2b-\dfrac{1}{a}\right)>0\)

làm tương tự cho trường hợp \(c>b>a>0\) ; \(b>a>c\)\(b>c>a\)

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

mấy câu cậu câu đăng khác bn làm tương tự nha . nếu bn lm không được thì có j mk lm luôn cho còn h mk bạn rồi :(

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^5}{b^2(c+3)}+\frac{b(c+3)}{16}+\frac{ab}{4}\geq \frac{3}{4}a^2\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A+\frac{5}{16}ab+\frac{3(a+b+c)}{16}\geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\)

Mà theo BĐT AM-GM dễ thấy \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow A\geq \frac{7}{16}(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{16}(a+b+c)\)

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b; c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3\sqrt[3]{abc}=a+b+c+3$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\Rightarrow A\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{1}{4}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021

Mình vừa sửa lỗi công thức, bạn load lại để xem nhé.

NV
18 tháng 9 2021

\(\dfrac{a^5}{b^2\left(c+3\right)}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a\left(c+3\right)}{16}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6b^2\left(c+3\right)}{64b^2\left(c+3\right)}}=\dfrac{3}{4}a^2\)

Tương tự: \(\dfrac{b^5}{c^2\left(a+3\right)}+\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{b\left(a+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}b^2\)

\(\dfrac{c^5}{a^2\left(b+3\right)}+\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{c\left(b+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}c^2\)

Cộng vế:

\(A+\dfrac{a^2+b^2+c^4}{4}+\dfrac{ab+bc+ca}{16}+\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{16}-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}-\dfrac{9}{16}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{7}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{7}{16}.3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{3}{4}\) (đpcm)

6 tháng 5 2022

Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)

CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)

6 tháng 5 2022

Mà câu này làm được rồi, giúp được câu kia không

28 tháng 7 2018

Ta có:

\(\sum\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+b^2+b^2+b^2\right)\ge5\sum a^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)\ge5\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\ge a^2+b^2+c^2\)

27 tháng 7 2018

Ap dung BDT Cauchy-Schwarz ta co:

\(\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)\left(\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{c^3}{b}+\dfrac{a^3}{c}\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

Can chung minh \(\dfrac{b^3}{a}+\dfrac{c^3}{b}+\dfrac{a^3}{c}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(VT=\dfrac{a^4}{ac}+\dfrac{b^4}{ab}+\dfrac{c^4}{bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=a^2+b^2+c^2=VP\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c\)