Cho △ABC nhọn đường cao AH. M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a) CM AM.AB=AN.AC
b) CM S▲AMN /S▲ABC = sin2B.sin2C
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 8 2016
a, tam giác ABH có: góc ABH=90 độ,vuông góc với AB
Suy ra: AM.AB=AH^2(Đ/L)
CMTT tam giác AHC: AN.AC=AH^2(Đ/L)
cả hai diều suy ra:AM.AB=AN.AC
16 tháng 8 2017
hình không đẹp lắm, mong cậu thông cảm.
Có : AH là đường cao của tam giác ABC=> goc AHB =900
Tam giác AHB vuông tại H có AM là đường cao
=> AM.AB = AH2 (dinh li d/cao trong tam giac vuong
Tam giac AHC vuong tai H có AN là đường cao
=> AN.AC = AH2 (dinh li d/cao trong tam giac vuong
Nen AM.AB =AN.AC
b,Tam giác AHB vuông tại H,=> cot B = BH/AH
Tam giác AHC vuông tại H => cotC = CH/AH
Co H thuoc BC (gt) => BC=BH+CH =[AH(BH+CH)]/AH=AH(cot B+cotC)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 9 2021
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH với đường cao BM:
\(AH^2=AM.AB\) (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao CN:
\(AH^2=AN.AC\) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
1 tháng 3 2022
a: Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{NAM}=90^0\)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật
Suy ra: MN=AH
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC=AH^2\)
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
4 tháng 7 2023
a/
Xét tg vuông ABH
\(AH^2=AM.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
Xét tg vuông ACH có
\(AH^2=AN.AC\) (lý do như trên)
\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
b/
\(AN\perp AB;MH\perp AB\) => AN//MH
\(AM\perp AC;NH\perp AC\) => AM//NH
=> AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)
Mặt khác \(\widehat{A}=90^o\)
=> AMHN là HCN => AM=NH; AN=MH (cạnh đối HCN)
Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có
\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )
=> tg ABH đồng dạng với tg ACH
\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ACH}}\) (hai tg đồng dạng, tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.MH}{\dfrac{1}{2}.AC.NH}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MH}{NH}\) lập phương 2 vế
\(\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{MH^2.MH}{NH^2.NH}\) (1)
Xét tg vuông ABH
\(MH^2=BM.AM\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ tử đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)
Xét tg vuông ACH, c/m tương tự
\(NH^2=CN.AN\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1)
(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM.AM.MH}{CN.AN.NH}\)
Mà AM = NH; AN = MH (cmt)
\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}\)
23 tháng 11 2023
a: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN và ΔACB có
\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)
\(\widehat{MAN}\) chung
Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB
Lời giải:
a)
Xét tam giác $MAH$ và $HAB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90^0\\ \text{góc A chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle MAH\sim \triangle HAB(g.g)\)
Do đó: \(\frac{MA}{HA}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow MA.AB=HA^2(1)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\triangle ANH\sim \triangle AHC\Rightarrow \frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AN.AC=AH^2(2)\)
\(\Rightarrow AN.AC=AM.AB\) (đpcm)
b)
Với tam giác $ABC$ nhọn bất kỳ, ta có công thức sau:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin A\)
Chứng minh: Kẻ \(BH\perp AC\). Khi đó \(S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}\)
Mà: \(\frac{BH}{AB}=\sin A\Rightarrow BH=AB.\sin A\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}=\frac{AB.\sin A.AC}{2}\) (đpcm)
Áp dụng công thức trên vào bài toán:
\(S_{AMN}=\frac{1}{2}.AM.AN\sin A\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\sin A\)
\(\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac{AM.AN}{AB.AC}=\frac{AM.AB.AN.AC}{AB^2.AC^2}=\frac{AH^2.AH^2}{AB^2.AC^2}\) (theo phần a)
\(=\left(\frac{AH}{AB}\right)^2\left(\frac{AH}{AC}\right)^2=\sin ^2B.\sin ^2C\) (đpcm)
Hình vẽ:
