Cho a,b tm: \(|a|\ge2; |b|\ge2\) CMR
\(a^2+1)(b^2+1)\ge (a+b)(ab+1)+5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 10 2017
Mình chỉ làm sơ sơ, có gì bạn sửa lại
Ta có: \(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\)
Đặt a ; b và c = 2 .
Thế số vào biểu thức ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{2^3+1}}+\frac{2}{\sqrt{2^3+1}}+\frac{2}{\sqrt{2^3+1}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(2^3+1\right)^2}+\frac{2}{\left(2^3+1\right)^2}+\frac{2}{\left(2^3+1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(2^3+1\right)^2}.3\Leftrightarrow\frac{2}{\left(8+1\right)^2}.3\Leftrightarrow\frac{2}{9^2}\ge2\)
Ta có ĐPCM
26 tháng 10 2017
\(\frac{1}{1+a}=\)\(1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
tt nhan vao ta co
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
T
13 tháng 2 2020
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Cách làm tương tự câu a.
c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P
NK
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 4 2019
\(\left(x+y\right)^3+4xy-2\ge0\) (1)
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\) \(\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
\(\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)^2-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow S^3+S^2-2\ge0\Leftrightarrow\left(S-1\right)\left(S^2+2S+2\right)\ge0\)
Mặt khác \(S^2+2S+2=\left(S+1\right)^2+1>0\) \(\forall S\)
\(\Rightarrow S-1\ge0\Rightarrow S\ge1\)
\(\Rightarrow S_{min}=1\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
13 tháng 2 2018
b) \(\hept{\begin{cases}x+my=m+1\left(1\right)\\mx+y=2m\left(2\right)\end{cases}}\)
từ \(\left(2\right)\) ta có: \(y=2m-mx\) \(\left(3\right)\)
thay (3) vào (1) ta được \(x+m\left(2m-mx\right)=m+1\)
\(\Leftrightarrow x+2m^2-m^2x=m+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-m^2\right)=m+1-2m^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-m^2\right)=-m^2+1\)
\(\Leftrightarrow x\left(m^2-1\right)=m^2-1\) \(\left(4\right)\)
để hpt có nghiệm duy nhất, pt (4) pải có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow m^2-1\ne0\Leftrightarrow m^2\ne1\Leftrightarrow m\ne\pm1\)
từ (4) ta có \(x=\frac{m^2-1}{m^2-1}=1\)
từ (3) ta có: \(y=2m-m\)
\(y=m\)
vậy hpt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;m\right)\)
theo bài ra \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y\ge1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow m\ge1\)
vậy....
13 tháng 2 2018
a) khi m = 2 hpt có dạng
\(\hept{\begin{cases}x+2y=3\\2x+y=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3-2y\\2\left(3-2y\right)+y=4\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3-2y\\6-4y+y=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-3y=-2\\x=3-2y\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{2}{3}\\x=\frac{5}{3}\end{cases}}\)
vậy....
L
1
M
1 tháng 1 2018
b) Giả sử:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^4-a^3b-ab^3-b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) BĐT đúng
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Mà \(a+b\ge2\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge2\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)
*Th1: Xét a;b < 0 thì \(a\le-2;b\le-2\)
khi đó VF âm và VT luôn dương nên BĐT luôn xảy ra.
*Th2: Xét a;b > 0 thì \(a\ge2;b\ge2\).
\(BDT\Leftrightarrow2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\ge2\left(ab+1\right)\left(a+b\right)+10\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2+a^2b^2-2ab\left(a+b\right)\right]+\left(a^2b^2-8ab+16\right)+\left(a^2+b^2-2ab\right)+8ab-2a-2b-24\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-ab\right)^2+\left(ab-4\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)\left(b-2\right)+7\left(ab-4\right)\ge0\)
( đúng)
Vậy BĐT được chứng minh.
tks