Question

[Nguyễn Thị Bình Yên]

Cho x, y > 0 và xy = 1. Tìm GTLN của \(A=\dfrac{x}{x^4+y^2}+\dfrac{y}{x^2+y^4}\)

Cho x, y > 0, thỏa mãn x + y \(\le\) 1. Tìm GTNN của \(B=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Câu 1:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)

\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)

Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Câu 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)

\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)

(do \(x+y\leq 1\) )

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)

\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)

Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)

Vậy \(B_{\min}=11\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)