Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(2^x+2^y+2^z=2336 (x< y < z)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
N
0
TL
2
8 tháng 8 2016
\(x^2+y^2+z^2=2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-y=0\\z=0\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\z=0\end{array}\right.\)
NT
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 7 2021
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\).
Khi đó ta có: \(13=xyz+x^2+y^2+z^2\ge z^3+3z^2\)
suy ra \(z=1\).
\(12=xy+x^2+y^2\ge y^2+y^2+y^2=3y^2\)
\(\Rightarrow y=1\)hoặc \(y=2\).
Với \(y=1\): \(x^2+1+1+x=13\Leftrightarrow x^2+x-11=0\)không có nghiệm nguyên dương.
Với \(y=2\): \(x^2+2^2+1^2+1.2.x=13\Leftrightarrow x^2+2x-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\)
\(\Rightarrow x=2\)thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là \(\left(1,2,2\right)\)và các hoán vị.
Y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2021
\(\Rightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{yz}=\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow4yz=\left(x-y-z\right)^2+12+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)\)
\(\Rightarrow4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)=4yz-12-\left(x-y-z\right)^2\) (1)
\(\sqrt{3}\) là số vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi: \(x-y-z=0\)
Thay ngược vào (1) \(\Rightarrow yz=3\Rightarrow\left(y;z\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}\Rightarrow x=4\)
FF
17 tháng 7 2016
<=> x^2 + y^2 + z^2 - xy - 3y - 2z + 4 <= 0
<=> (x^2 - xy + 1/4y^2) + (3/4y^2 - 3y + 3) + (z^2 - 2z + 1) <= 0
<=> (x^2 - xy + 1/4y^2) + 3(1/4y^2 - y + 1) + (z^2 - 2z + 1) <=0
<=> (x-1/2y)^2 + 3(1/2y-1)^2 + (z-1)^2 <=0
Nhận xét: 3 cái bình phương đều >=0 với mọi x,y,z nên VT>=0 với mọi x,y,z. Để bất phương trình đúng thì VT=0 <=> 3 cái đồng thời = 0
<=> x = 1/2y và 1/2y = 1 và z = 1.
Bạn giải 3 phương trình trên => x = 1, y = 2, z = 1.
LT
0
Lời giải:
Do \(x< y< z\) nên từ PT:
\(2^x+2^y+2^z=2336\)
\(\Leftrightarrow 2^x(1+2^{y-x}+2^{z-x})=2336=2^5.73\) (1)
Do \(x< y< z\Rightarrow y-x>0; z-x>0\)
Do đó \(1+2^{y-x}+2^{z-x}\) lẻ (2)
Từ (1)(2) suy ra \(\left\{\begin{matrix} 2^x=2^5\\ 1+2^{y-x}+2^{z-x}=73\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\ 2^{y-x}+2^{z-x}=72\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2^{y-5}+2^{z-5}=72\)
\(\Leftrightarrow 2^{y-5}(1+2^{z-y})=72=2^3.3^2\)
Vì \(y< z\Rightarrow z-y>0\Rightarrow 1+2^{z-y}\) lẻ. Mặt khác $2^{y-5}$ chỉ chứa ước nguyên tố là $2$
Do đó: \(\left\{\begin{matrix} 2^{y-5}=2^3\\ 1+2^{z-y}=3^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=8\\ 2^{z-y}=8\end{matrix}\right.\Rightarrow y=8; z=11\)
Vậy \((x,y,z)=(5,8,11)\)