Công thức Heron dùng để tính diện tích tam giác S=\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\), trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh \(P=\dfrac{a b c}{2}\) là nữa chu vi tam giác. Bạn Nh...

0

TH

Tran Huong

21 tháng 5 2017

cho tam giác ABC có một cạnh bằng 60 cm và chu vi bằng 160cm . Tìm độ dài hai cạnh còn lại để tam giác ABC có diện tích lớn nhất(cho biết diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là a,b,c có thể tính bằng công thức sau:

S=\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)_{ }}\);p=(a+b+c):2

1

NM

Nguyễn Minh Đức Đức

15 tháng 3

a = 60cm

p = 160/2 = 80cm

p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) (1) => \(\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{b+c}{2}\)

Vì a, p là 1 hằng số nên để S đạt GTLN <=> (p-b) và (p-c) đạt GTLN

Áp dụng bđt Cosin, ta có:

\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) <= \(\dfrac{p-b+p-c}{2}\) = \(\dfrac{2p-b-c}{2}\)

=> \(\dfrac{S}{\sqrt{p\left(p-a\right)}}\) <= \(p-\dfrac{b+c}{2}\) = \(p-\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{a}{2}\)

=> 2S <= \(a\sqrt{p\left(p-a\right)}\) = \(60\sqrt{80.\left(80-60\right)}\) = 2400

=> S <= 1200 (\(cm^2\))

Dấu "=" xảy ra

<=> \(p-b\) = \(p-c\)

<=> b = c

Thay b = c vào (1), ta được:

p = \(\dfrac{a+2b}{2}\) => 80 = \(\dfrac{60+2b}{2}\) => b = c = 50 (cm)

=> đpcm

MT

Mai Thanh Hoàng

17 tháng 8 2017

1/ a. Chứng minh công thức Hê-rông tính diện tích tam giác theo 3 cạnh a,b,c S=\(\sqrt{\text{p(p−a)(p−b)(p−c)}}\) (p là nửa chu vi)

b. Áp dụng chứng minh rằng nếu S=\(\frac{1}{4}\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\) thì tam giác đó là tam giác vuông

0

DT

Đặng Thanh Thủy

20 tháng 6 2016

Cho tam giác ABC có a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác, trong đó a lớn nhất. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông khi và chỉ khi \(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\right)=\left(a+b+c\right)\sqrt{2}\)

1

BN

Bảo Nam

20 tháng 6 2016

bạn ơi giúp mình với C/M: (ax^2 - bx^2)^4 + (2ab+bx^2)^4 + (2ab+a^2)^4 = 2(a^2+ab+b^2)

TD

Trần Đức Vân

5 tháng 11 2016

Cho biết tam giác có các cạnh a,b,c thì diện tích S của nó được tính bởi công thức : \(S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}\).Tính diện tích tam giác khi :

a ) \(a=b=c\) b ) \(a^2=b^2+c^2\)

1

VD

Võ Đông Anh Tuấn

5 tháng 11 2016

a ) Khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(3a^2\right)^2-6a^4}=\frac{1}{4}\sqrt{3a^4}\)

\(\Rightarrow S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Vậy diện tích tam giác đều cạnh a là \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\)

b ) Khi \(a^2=b^2+c^2\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(2a^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(a^4-b^4-c^4\right)}\)

Từ \(b^2+c^2=a^2\)

\(\Rightarrow b^4+c^4+2b^2c^2=a^4,\)ta tính ra :

\(S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2}\) \(\Rightarrow S=\frac{2}{4}b.c\) \(\Rightarrow S=\frac{1}{2}bc\)

Vậy diện tích tam giác vuông thì bằng \(\frac{1}{2}\) tích 2 cạnh góc vuông .

LV

Lê Vũ Anh Thư

6 tháng 11 2018

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC, biết rằng: \(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)

CMR: Tam giác ABC là tam giác đều.

1

NL

Nguyễn Linh Chi

6 tháng 11 2018

Câu hỏi của Phạm Thị Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài làm ở link này nhé!

TM

Trần Minh Tâm

24 tháng 10 2017

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì :

\(a^2+b^2+c^2-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2\ge4\sqrt{3}S\)

trong đó S là diện tích của tam giác.

Cho S = \(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với p là nửa chu vi (Công thức Hê rông)

#Toán lớp 10

2

PA

Phương An

24 tháng 10 2017

Áp dụng bđt AM - GM, ta có:

\(4\sqrt{3}S=4\sqrt{3}\times\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(=4\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}{4}\)

\(\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\times\sqrt{\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{3}\)

\(=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ac+c^2\right)-\left(b^2-2bc+c^2\right)}{3}\)

\(=a^2+b^2+c^2-\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c (\(\Delta ABC\) đều)

Làm linh tinh đấy -.- hổng chắc đâu Ọ v Ọ

N

Neet

29 tháng 10 2017

Còn một cách rất pá đạo nữa , không hiểu nổi lấy ý tưởng từ đâu luôn:

CM:\(a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt{3}S\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2-2ab.\cos C-4\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.ab.\sin C\ge0\)( định lý cos + CT diện tích)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2-2ab\right)+4ab-4ab.\dfrac{1}{2}.\cos C-4ab.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sin C\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2+4ab\left(1-\cos\dfrac{\pi}{3}.\cos C-\sin\dfrac{\pi}{3}.\sin C\right)\ge0\)

( \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\cos60=\dfrac{1}{2}\);\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\))

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2+4ab\left[1-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-C\right)\right]\ge0\)( luôn đúng vì \(-1\le\cos\alpha\le1\))

( \(\cos\left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\))

BT

BUI THI HOANG DIEP

5 tháng 11 2019

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.

2

BA

Bùi Anh Tuấn

5 tháng 11 2019

\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)

Ta có

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều

BT

BUI THI HOANG DIEP

7 tháng 11 2019

Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)

\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)

\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)

\(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)

\(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)

\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)

Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 ⁽²⁾

Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều

QA

Quỳnh Anh

15 tháng 1 2021

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:

\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{p^3}{27}\)

#Toán lớp 10

2

TM

Trần Minh Hoàng

15 tháng 1 2021

Bất đẳng thức cần cm tương đương:

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).

Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).

Vậy ta có đpcm.

QA

Quỳnh Anh

15 tháng 1 2021

mk ko hiểu. bạn gthik rõ ra đc koSigma CTV

MT

Minh Tài

7 tháng 6 2018

Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác . Tính giá trị biểu thức :\(P=\frac{[a^2-\left(b+c\right)^2]\cdot\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-c\right)^2-b^2\right]}\)