K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
30 tháng 12 2021

\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)

\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)

31 tháng 12 2021

Anh ơi! Dấu bằng xảy ra là x+y+z =2 và cái nào nữa ạ anh

6 tháng 12 2023

Ta thấy 
72
=
2
3
.
3
2
72=2 
3
 .3 
2
  nên a, b có dạng 
{

=
2

3


=
2

.
3


a=2 
x
 3 
y
 
b=2 
z
 .3 
t
 

  với 

,

,

,


N
x,y,z,t∈N và 



{

,

}
=
3
;



{

,

}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2. 

 Theo đề bài, ta có 
2

.
3

+
2

.
3

=
42

x
 .3 
y
 +2 
z
 .3 
t
 =42

 

2


1
.
3


1
+
2


1
3


1
=
7
⇔2 
x−1
 .3 
y−1
 +2 
z−1
 3 
t−1
 =7   (*), do đó 

,

,

,


1
x,y,z,t≥1

 TH1: 



,



x≥z,y≤t. Khi đó 

=
3
,

=
2
x=3,t=2. (*) thành:

 
4.
3


1
+
3.
2


1
=
7
4.3 
y−1
 +3.2 
z−1
 =7 


=

=
1
⇔y=z=1

 Vậy 
{

=
24

=
18

a=24
b=18

  (nhận)

 TH2: KMTQ thì giả sử 



,



x≥z,y≥t. Khi đó 

=
3
,

=
2
x=3,z=2. (*) thành 

 
4.
3


1
+
2.
3


1
=
7
4.3 
y−1
 +2.3 
t−1
 =7, điều này là vô lí.

 Vậy 
(

,

)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay 
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.

NV
12 tháng 3 2021

\(B=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x^3+y^3}+\dfrac{3}{3xy\left(x+y\right)}\)

\(B\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\left(x+y\right)^3}=4+2\sqrt{3}\)

\(B_{min}=4+2\sqrt{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}-\sqrt[4]{12}}{6+2\sqrt{3}};\dfrac{3+\sqrt{3}+\sqrt[4]{12}}{6+2\sqrt{3}}\right)\) và hoán vị

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 3 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz:

$B=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}$

$=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}$

$\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}=(1+\sqrt{3})^2$

Vậy $B_{\min}=(1+\sqrt{3})^2$

Dấu "=" xảy ra khi $xy=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$

25 tháng 4 2019

Biến đổi từ giả thiết

\(x^3+y^3+6xy\le8\)

\(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x^2-xy+y^2+2x+2y+4\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x+y-2\le0\)

(Do \(x^2-xy+y^2+2x+2y+4=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2x+2y+4>0\forall x;y>0\))

\(\Leftrightarrow x+y\le2\)

Và áp dụng các bđt \(\frac{1}{2ab}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)

                                 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(a;b>0\right)\)

Khi đó \(P=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{ab}+ab\right)+\frac{3}{2ab}\)

               \(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)

                 \(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{2}\)

Dấu "=" <=> a= b = 1

30 tháng 1 2017

cần lưu ý 2 bđt sau :(a,b>0) 1/a + 1/b >= 4/(a+b) , (a+b)2 >= 4ab (dâu1 "=" khi a=b)

có x+y=1 =>(x+y)2=1=>x2+y2=1-2xy

A=1/1-2xy + 1/2xy + 1/2xy  >= 4/1-2xy+2xy + 2/4xy >= 4+2/(x+y)2 >= 6

Dấu "=" khi x=y=1/2