Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:
\(\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|< \frac{1}{8}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)
\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)
\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều
Ta có
\(1+\frac{b}{a}=\frac{a+b}{a}\ge2\frac{\sqrt{ab}}{a}\)
\(1+\frac{c}{b}\ge2\frac{\sqrt{bc}}{b}\)
\(1+\frac{a}{c}\ge2\frac{\sqrt{ac}}{c}\)
Nhân vế theo vế ta được
\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge8\frac{\sqrt{ab.bc.ca}}{abc}=8\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay tam giác ABC đều
Ôi đ.m ThắngDz đây :v. Bài nãy quên nói ta chứng minh BĐT mạnh hơn là \(VT< \dfrac{1}{22}\) :v nhưng 2 cách k khác nhau nhiều
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow(2x+y+z)(2y+x+z)(2z+x+y)\ge8\sum_{cyc}(y-x)(2x+y+z)(2y+x+z)\) ( trong đó \(\sum_{cyc}a=a+b+c\))
\(\sum_{cyc}\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\dfrac{16}{3}xyz\right)\ge0\)
Đúng theo BĐT Rearrangement (\(x^3+y^3+z^3\ge x^2z+y^2x+z^2y\))
bài này của tui, tui pick and lock bài này ( ͡° ͜ʖ ͡°)