K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 9 2017

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=0\\xy+yz+zx=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y+z\right)^2=0\\2\left(xy+yz+zx\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=0\\2xy+2yz+2zx=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2xy-2yz-2zx=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0\forall x\\y^2\ge0\forall y\\z^2\ge0\forall z\end{matrix}\right.\)

Nên: \(x^2+y^2+z^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=0\\y^2=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=y=z=0\)

Ta có điều phải chứng minh

17 tháng 8 2019
https://i.imgur.com/Xn3yXE2.jpg
6 tháng 7 2015

ta có:

(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

<=>(x+y+z)2=x2+y2+z2+2.(xy+xz+yz)

thay x+y+z=0 và xy+xz+yz=0 ta được:

02=x2+y2+z2=2.0

<=>x2+y2+z2=0

mà x2;y2;z2\(\ge\)0 nên

=>x=y=z=0 thì x2+y2+z2=0

vậy với x+y++z=0 và xy+yz+zx=0 thì x=y=z

14 tháng 9 2016

ta có x+y+z=0 suy ra (x+y+z)2=0

do đó x2+y2+z2=0(vì xy+yz+xz=0)

vì thế x=y=z

17 tháng 7 2018

Ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\)

\(=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2.0\)

\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2\)

Vậy \(x=y=z\left(=0\right)\)(đpcm)

22 tháng 7 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có

\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)

Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM

Khi \(x=y=z\)

26 tháng 9 2020

Giải

Ta có : ( x + y + z )\(^2\)= x\(^2\)+ y\(^2\)+ z\(^2\)+ 2( xy + yz + zx )

Suy ra                      0 = x\(^2\)+ y\(^2\)+ z\(^2\)+ 2.0

hay                           0 = x\(^2\)+ y\(^2\)+ z\(^2\)

Vậy x = y = z ( = 0 )

7 tháng 6 2021

\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)