CMR:\(10^n+18n-28⋮27\) với mọi n thuộc N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 11 2015
C = 10n + 18n -28
+với n =1 => C =10+18 -28 =0 chia hết cho 9
+ Giả sử C chia hết cho 9 với n-1
=> C =10n-1 + 18(n-1) -28 chia hết cho 9
+ Ta chứng minh C chia hết cho 9 đúng với n
C= [10n +18n -28 = 10.10n-1 +18(n -1).10 -280 ] +(162n +432)
=10[10n-1 + 18(n-1) -28 ] +9(18n+48) chia hết cho 9
=> dpcm
VK
2
LC
17 tháng 10 2015
Ta có: 10^n + 18n - 28 = (10^n - 1) + 18n-27 = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n)-27 (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3
=> 9.A chia hết cho 27
=>9.A-27 chia hết cho 27
=>10^n + 18n -28 chia hết cho 27
=>ĐPCM
14 tháng 12 2021
\(b,n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\\ =\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Vì \(n\in Z\) và n lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in Z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\\ =2k.\left(2k+2\right).\left(2k-2\right).\left(2k+4\right)\\ =16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)
Vì \(k,k+1,k-1,k+2\) là 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1.2.3.4=24\)
Do đó \(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮24.16=384\)
LM
3
Lời giải:
Ta xét các TH sau:
TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28\)
Ta thấy:
\(10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}\)
\(18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}\)
\(28\equiv 1\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)\)
TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10\)
Ta thấy:
\(10^{3k}\equiv 1\pmod {27} \) (cmt) \(\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}\)
\(54k\equiv 0\pmod {27}\)
\(10\equiv 10\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)\)
TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$
\(10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)\)
Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$
Lời giải:
Ta xét các TH sau:
TH1: $n$ chia hết cho $3$: $n=3k$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k}+18.3k-28\)
Ta thấy:
\(10^3\equiv 1\pmod {27}\Rightarrow 10^{3k}\equiv 1^k\equiv 1\pmod {27}\)
\(18.3k=27.2k\equiv 0\pmod {27}\)
\(28\equiv 1\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 1+0-1\equiv 0\pmod {27}(1)\)
TH2: $n$ chia 3 dư $1$: $n=3k+1$ với $k\in\mathbb{N}$
\(10^n+18n-28=10^{3k+1}+18(3k+1)-28=10^{3k}.10+54k-10\)
Ta thấy:
\(10^{3k}\equiv 1\pmod {27} \) (cmt) \(\Rightarrow 10^{3k}.10\equiv 10\pmod {27}\)
\(54k\equiv 0\pmod {27}\)
\(10\equiv 10\pmod {27}\)
\(\Rightarrow 10^n+18n-28\equiv 10-0-10\equiv 0\pmod {27}(2)\)
TH3: $n$ chia 3 dư $2$: $n=3k+2$
\(10^n+18n-28=10^{3k}.100+54k+8\equiv 100+0+8\equiv 0\pmod {27}(3)\)
Từ (1);(2);(3) suy ra $10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với mọi số tự nhiên $n$