Cho M = \(\left(xy-1\right).\left(x^{2017}+y^{2018}\right)-\left(xy+1\right)\left(x^{2017}-y^{2018}\right)\)
Chứng minh rằng: M \(⋮2\) với mọi x, y \(\in Z\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 10 2019
\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^3+3y+1+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+2=0\)
(phần trong ngoặc \(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\)
\(=\left(x+1-\frac{y+1}{4}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\) luôn dương)
\(\Rightarrow x+y=-2\)
Mà \(xy>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x>0\\-y>0\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\ge\frac{4}{-\left(x+y\right)}=2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le-2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 10 2019
2/ \(x;y;z\ne0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{xz+yz+z^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{xy+yz+xz+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\) dù trường hợp nào thì thay vào ta đều có \(B=0\)
3/ \(\Leftrightarrow mx-2x+my-y-1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+y\right)-\left(2x+y+1\right)=0\)
Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà d đi qua
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+y_0=0\\2x_0+y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=1\end{matrix}\right.\)
Vậy d luôn đi qua \(A\left(-1;1\right)\) với mọi m
4 tháng 10 2017
Ta có:
\(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=-y;y=-z;z=-x\)
Với \(x=-y\)
\(\Rightarrow x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}=z^{2017}=\left(x+y+z\right)^{2017}\)
Tương tự cho 2 trường hợp còn lại
11 tháng 6 2019
Một cửa hàng ngày thứ nhất bán 180 tạ gạo, ngày thứ hai bán 270 tạ gạo , ngày thứ ba bán kém hơn ngày thứ hai một nửa .Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu tạ gạo ?
DT
11 tháng 6 2019
1) Xét hiệu :
\(\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)-3\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right).\)
\(=x_1\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_1y_1+x_2\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_2y_2+x_3\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_3y_3.\)
\(=x_1\left(y_2+y_3-2y_1\right)+x_2\left(y_1+y_3-2y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2-2y_3\right)\)
\(=x_1\left[\left(y_2-y_1\right)-\left(y_1-y_3\right)\right]+x_2\left[\left(y_3-y_2\right)-\left(y_2-y_1\right)\right]+x_3\left[\left(y_1-y_3\right)-\left(y_3-y_2\right)\right]\)
\(=\left(y_2-y_1\right)\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_3\right)\left(x_3-x_1\right)+\left(y_3-y_2\right)\left(x_2-x_3\right)\le0\)
Vì \(x_1\le x_2\le x_3;y_1\le y_2\le y_3\)
7 tháng 5 2018
Đặt x - 2017 = a
Phương trình trên tương đương:
\(\dfrac{\left(-a\right)^2-\left(-a\right)\left(a-1\right)+\left(a-1\right)^2}{\left(-a\right)^2+\left(-a\right)\left(a-1\right)+\left(a-1\right)^2}=\dfrac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+a^2-a+a^2-2a+1}{a^2-a^2+a+a^2-2a+1}=\dfrac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2-3a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow9x^2-9x+3=5x^2-5x+5\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình: \(S=\left\{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2};\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right\}\)
24 tháng 5 2017
Từ \(\left(x+1\right)^6+\left(y-1\right)^4=-z^2\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^6+\left(y-1\right)^4+z^2=0\)
Thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^6\ge0\forall x\\\left(y-1\right)^4\ge0\forall y\\z^2\ge0\forall z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^6+\left(y-1\right)^4+z^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^6=0\\\left(y-1\right)^4=0\\z^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\\z=0\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(N=2018\cdot x^{2016}\cdot y^{2017}-\left(z-1\right)^{2018}\)
\(=2018\cdot\left(-1\right)^{2016}\cdot1^{2017}-\left(0-1\right)^{2018}\)
\(=2018-\left(-1\right)^{2018}=2018-1=2017\)
26 tháng 12 2017
thanks bạn nhiều nha Ace Legona. Mk cũng đang cần bài này
