cho : a+b+c=0
chứng minh a5+b5+c5=-5abc(ab+bc+ca)
help me !!! @Linh Phuong
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Đặt \(A=a^5+b^5+c^5\)
\(A-\left(a+b+c\right)=a^5-a+b^5-b+c^5-c\)
Ta có: \(B=a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
Nếu \(a\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow B\) chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 \(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) chia hết chi 5 \(\Rightarrow\)B chia hết cho 5
Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 \(\Rightarrow a^2+1\) chia 5 dư \(\left(\pm2\right)^2+1=5\Rightarrow a^2+1⋮5\Rightarrow B⋮5\)
Vậy \(B=a^5-a⋮5\) với mọi a nguyên
Hoàn toàn tương tự, \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 5 với mọi b; c
\(\Rightarrow A-\left(a+b+c\right)⋮5\Rightarrow A⋮5\) (đpcm)
(Có thể ngắn gọn hơn là \(a^5\equiv a\left(mod5\right)\Rightarrow a^5-a⋮5\) ; \(\forall a\in Z\))
I
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
1. Đề sai với $a=1; b=0; c=-1$
2. Vì $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$. Khi đó:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=-c^3+3abc+c^3=3abc$ (đpcm)
3. Đề sai.
$a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)+c^5$
$=[(a+b)^2-2ab][(a+b)^3-3ab(a+b)]-a^2b^2(-c)+c^5$
$=[(-c)^2-2ab][(-c)^3-3ab(-c)]+a^2b^2c+c^5$
$=(c^2-2ab)(3abc-c^3)+a^2b^2c+c^5$
$=3abc^3-c^5-6a^2b^2c+2abc^3+a^2b^2c+c^5$
$=3abc^3-6a^2b^2c+2abc^3+a^2b^2c$
$=abc(5c^2-5ab)=5abc(c^2-ab)$
26 tháng 8 2021
2:Ta có: a+b+c=0
nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)
Ta có: a+b+c=0
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
TN
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải:
\(a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2=(-c)^2-2ab+c^2=2(c^2-2ab)\)
\(a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc\)
Do đó:
$2(a^2+b^2+c^2).3(a^3+b^3+c^3)=36abc(c^2-2ab)$
Mặt khác:
\(a^5+b^5+c^5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)-a^2b^2(a+b)+c^5\)
\(=[(a+b)^2-2ab][(a+b)^3-3ab(a+b)]-a^2b^2(-c)+c^5\)
\(=(c^2-2ab)(-c^3+3abc)+a^2b^2c+c^5\)
\(=-c^5+3abc^3+2abc^3-6a^2b^2c+a^2b^2c+c^5\)
\(=5abc^3-5a^2b^2c=5abc(c^2-ab)\)
\(\Rightarrow 5(a^5+b^5+c^5)=25abc(c^2-ab)\)
Do đó 2 đẳng thức trên không bằng nhau.
\(Ta có: a+b+c=0 ⇔(a+b)^5=(−c)^5 ⇔a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=−c5 \)
\(⇔a^5+b^5+c^5=−5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)\)
\(⇔a^5+b^5+c^5=−5ab[(a+b)(a^2−ab+b^2)+2ab(a+b)]\)
\(⇔2(a^5+b^5+c^5)=5abc[a^2+b^2+(a^2+2ab+b^2)]\)
\(⇔2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)\)(đpcm)