CMR : \(2^{2^{2n}}+5⋮7\) với mọi \(n\in N\) (Dùng quy nạp)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 7 2017
Với n=2 thì \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n=3.4.5...4>2^2=4\)
=> bất đẳng thức \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\)đúng với n=2
Gỉa sử bất đẳng thức \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\) đúng với n=k (\(k\ge2;k\in N\)), khi đó ta có:
\(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k>2^k\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh bất đẳng thức trên đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh \(\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(k+4\right)...2\left(k+1\right)>2^{k+1}\)
Ta có: \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k>2^k\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...2k.\left(2k+1\right)>2^k\)
\(\Rightarrow2.\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+1\right)>2.2^k\)
\(\Rightarrow\left(k+2\right)\left(k+3\right)\left(k+4\right)...\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)>2^{k+1}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\) đúng với n=k+1
Vậy với mọi số tự nhiên n>1 thì \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n>2^n\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
a/ Đẳng thức bạn ghi nhầm rồi, đây là công thức rất quen thuộc:
\(1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
Với \(n=1;2\) ta thấy đúng
Giả sử đẳng thức cũng đúng với \(n=k\) hay:
\(1^3+2^3+...+k^3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)
Thật vậy, ta có:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(k+1\right)^2\left[\frac{k^2}{4}+k+1\right]=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right)\)
\(=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
b/
Ta thấy đẳng thức đúng với \(n=1;2\)
Giả sử nó cũng đúng với \(n=k\) hay:
\(1+3+...+\left(2k-1\right)=k^2\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\) hay:
\(1+3+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)=\left(k+1\right)^2\)
Thật vậy, ta có:
\(1+3+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)\)
\(=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\) (đpcm)
CN
0
17 tháng 9 2019
dùng đồng dư đi :v
2^2^2n=16^n
có 16 đồng dư 2 mod 7
=>16^n đồng dư 2 mod 7
=>16^n+5 đồng dư 0 mod 7
HT
19 tháng 5 2016
\(1^2+2^2+3^2+.......+n^2=1\times\left(2-1\right)+2\times\left(3-1\right)+.......+n\left(\left(n+1\right)-1\right)\)=\(\left(1.2+2.3+3.4+......+n\left(n+1\right)\right)-\left(1+2+3+.....+n\right)\)=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-0.1.2}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
HT
19 tháng 5 2016
sử dụng qui nạp:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ n² = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*)
(*) đúng khi n= 1
giả sử (*) đúng với n= k, ta có:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) (1)
ta cm (*) đúng với n = k +1, thật vậy từ (1) cho ta:
1² + 2² + 3² + 4² + ...+ k² + (k + 1)² = \(\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\) + (k + 1)²
= (k+1)\(\left(\frac{k\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)\right)\)= (k + 1)\(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k^2+7k+6}{6}\) = (k + 1)\(\frac{2k^2+4k+3k+6}{6}\)
= (k + 1)\(\frac{2k\left(k+2\right)+3\left(k+2\right)}{6}\) = (k + 1)\(\frac{\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
vậy (*) đúng với n = k + 1, theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n thuộc N*
\(A=\left(2^{2^{2n}}+5\right)⋮7,\forall n\in N\) (1)
- Với n=0 ta có \(A=2^{2^{2n}}+5=7⋮7\)
Vậy (1) đúng với n=0
- Giả sử (1) cũng đúng với n=k, hay \(\left(2^{2^{2k}}+5\right)⋮7\)
\(\Rightarrow2^{2^{2k}}=7m-5\left(m\in N\right)\)
- Ta sẽ c/m (1) cũng đúng với n=k+1, tức là phải c/m:
\(\left(2^{2^{2k+2}}+5\right)⋮7\)
\(A=2^{2^{2k+2}}+5=2^{2^{2k}.4}=\left(2^{2^{2k}}\right)^4+5=\left(7m-5\right)^4+5\)
\(=\left(7K+25\right)^2+5=7M+25^2+5=7M+630\)
Dễ thấy \(\left(7M+630\right)⋮7\)
Hay (1) đúng với n=k+1
Ta có (1) đúng với n=0; với n=k; với n=k+1 nên theo nguyên lý quy nạp (1) đúng \(\forall n\in N\)
p/s: mk ko chắc lắm đâu, nếu có sai sót bn để lại bình luận nhé!
lũy thừa cũng có t/c như dòng thứ 8 à bạn ? Cái chỗ :
\(2^{2^{2k}.4}=\left(2^{2^{2k}}\right)^4\) ấy