cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OB, MN là dây cung bất kì qua H. vẽ dây AA' vuông góc với MN. Lấy I là trung điểm của MN, BI cắt AA' tại D. CMR
- tứ giác DMNB là hbh
- D là trung điểm của AA'
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
7 tháng 9 2023
a) Để chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác là bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
Ta có MN là dây bất kì qua trung điểm H của đường kính AB, nên MN song song với AB và có độ dài bằng nhau.Vì AA' vuông góc với MN tại I, nên AI là đường phân giác của góc MAN. Tương tự, AI' là đường phân giác của góc MBN. Do đó, AI và AI' cắt nhau tại trung điểm D của BI.Vì MN song song với AB và có độ dài bằng nhau, cùng với việc AI và AI' cắt nhau tại D, ta có thể kết luận rằng tứ giác DMBN là hình bình hành.b) Để chứng minh D là trung điểm của AA', ta cần chứng minh AD = AD' và AI = AI'.
Vì D là trung điểm của BI, nên BD = ID.Vì AI và AI' là đường phân giác của góc MAN và góc MBN, nên AI = MI và AI' = NI.Vì MN là dây bất kì qua trung điểm H của đường kính AB, nên MN song song với AB và có độ dài bằng nhau. Do đó, MI = NI.Vì BD = ID và AI = MI = NI, ta có thể kết luận rằng D là trung điểm của AA'.Vậy, ta đã chứng minh được cả hai câu a) và b).
31 tháng 1
a: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
Xét tứ giác AECK có \(\widehat{AEC}+\widehat{AKC}=90^0+90^0=180^0\)
nên AECK là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔIAB có
BK,IE là các đường cao
BK cắt IE tại C
Do đó: C là trực tâm của ΔIAB
=>AC\(\perp\)IB tại D
Xét tứ giác CEBD có \(\widehat{CEB}+\widehat{CDB}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEBD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AKCE có \(\widehat{AKC}+\widehat{AEC}=90^0+90^0=180^0\)
nên AKCE là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác IKCD có \(\widehat{IKC}+\widehat{IDC}=90^0+90^0=180^0\)
nên IKCD là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{DKC}=\widehat{DIC}\)(DIKC nội tiếp)
\(\widehat{EKC}=\widehat{EAC}\)(KAEC nội tiếp)
mà \(\widehat{DIC}=\widehat{EAC}\left(=90^0-\widehat{DBA}\right)\)
nên \(\widehat{DKC}=\widehat{EKC}\)
=>KC là phân giác của góc DKE
Ta có: \(\widehat{KDC}=\widehat{KIC}\)(DIKC là tứ giác nội tiếp)
\(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)(EBDC nội tiếp)
mà \(\widehat{KIC}=\widehat{EBC}\left(=90^0-\widehat{KAB}\right)\)
nên \(\widehat{KDC}=\widehat{EDC}\)
=>DC là phân giác của góc KDE
Xét ΔKED có
DC,KC là các đường phân giác
Do đó: C là tâm đường tròn nội tiếp ΔKED
=>C cách đều ba cạnh của ΔKED
Câu 1: Nối OI ta có
+ Xét tam giác OMN có
OM=ON (bán kính đường tròn) => tam giác OMN cân (tam giác có hai cạnh bên bằng nhau là t/g cân)
MI=NI (đề bài) => OI là trung tuyến thuộc cạnh MN
=> OI vuông góc MN (trong tam giác cân trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời là đường cao của tam giác cân)
+ Ta có
AA' vuông góc MN
OI vuông góc MN (cmt)
=> OI//AA'
+ Xét tam giác ABD có
OA=OB (bán kính đường tròn)
OI//AD (chứng minh trên OI//AA')
=> BI=DI (đường thẳng // cạnh đáy và đi qua trung điểm của 1 cạnh bên thì cũng đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại)
Mà MI=NI
=> DMNB là hbh (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
Câu 2:
+ Xét tam giác OBD có
HO=HB (đề bài)
Bi=DI (c/m trên)
=> HI là đường trung bình của tam giác OBD (đường thẳng đi qua trung điểm hai cạn bên 1 t/g là đường trung bình)
=> HI//OD
Mà HI vuông góc AA'
=> OD vuông góc AA'
=> AD=A'D (Bán kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung tại điểm cắt nhau)