Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến vởi nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.
b) Chứng minh \(AM.BN=R^2.\)
c) Tính tỉ số \(\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}\) khi \(AM=\dfrac{R}{2}.\)
d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.
Giải:
a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác cả AOP và BOP
Mà AOP kể bù BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.
Vậy ∆MON vuông tại O.
Lại có ∆APB vuông vì có góc
vuông (góc nội tiếp chắn nửa cung tròn)
Tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn vì có
+
= 2v. Nên
=
(cùng chắn cung OP).
Vậy hai tam giác vuông MON à APB đồng dạng vị có cắp góc nhọn bằng nhau.
b)
Tam giác AM = MP, BN = NP (1) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Tam giác vuông MON có OP là đường cao nên:
MN.PN = OP2 (2)
Từ 1 và 2 suy ra AM.BN = OP2 = R2
c) Từ tam giác MON đồng dạng với tam giác APB ta có :
Khi AM =
thi do AM.BN = R2 suy ra BN = 2R
Do đó MN = MP + PN = AM + BN =
+ 2R = ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B5R%7D%7B2%7D)
Suy ra MN2 =![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B25R%7D%7B4%7D)
Vậy
= ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%204%7D%7B%282R%29%5E2%7D%3D%20%5Cfrac%7B25%7D%7B16%7D)
d) Nửa hình tròn APB quay quanh bán kính AB = 2R sinh ra một hình cầu có bán kính R.
Vậy V =
πR3