Question

[nguyen kim chi]

C/M rằng với mọi số nguyên tố lẻ p đều ko tồn tại các số nguyên dương m;n thỏa mãn \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)

Answer 1

[Trịnh Quang Hùng]

Vì p là số nguyên tố lẻ nên p>1.ĐKXĐ m,n khác 0.

Ta có: \(\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p}=\left(\frac{m^2+n^2}{m^2n^2}\right)\Leftrightarrow\)\(\left(m^2+n^2\right)p=m^2n^2\)   \(\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2n^2-m^2p-n^2p+p^2=p^2\Leftrightarrow\left(m^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)  \(\left(2\right)\)

Từ (1) ta được m hoặc n chia hết p.Giả sử m chia hết cho p. Đặt m²=a²p² ( a khác 0) nên (2) \(\Leftrightarrow\)  \(\left(a^2p^2-p\right)\left(n^2-p\right)=p^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2p-1\right)\left(n^2-p\right)=p\)

Vì a khác 0 nên a²>0 a²p chia hết p . Vì p>2 nên a²p-1 không chia hết cho p.

Vậy n²-p chia hết cho p nên n chia hết cho p . Đặt n=bp.

Dựa pt đầu ta có \(\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2p^2}+\frac{1}{b^2p^2}\Leftrightarrow1=\frac{1}{a^2p}+\frac{1}{b^2p}\)

nên a²p=2 và b²p=2 nên vô lý