Question

[Nguyễn Huy Tú]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy D bất kì trên BC. H, I là hình chiếu của B, C trên AD. AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng:

a. BH = AI

b. BH² + CI² có giá trị không đổi

c. \(DN\perp AC\)

d. IM là phân giác của \(\widehat{HIC}\)

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

d) ĐK: D thuộc BM

t/g AHM = t/g CIM (c.g.c)

=> HM = IM (2 cạnh t/ứ) (1)

và AMH = CMI (2 góc t/ứ)

=> AMI + IMH = AMI + AMC = AMI + 90^o

=> IMH = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => t/g HIM vuông cân tại M

=> HIM = 45^o

Mà HIM + MIC = HIC = 90^o

=> 45^o + MIC = 90^o

=> MIC = 45^o = HIM

=> IM là p/g HIC (đpcm)

Answer 2

[soyeon_Tiểubàng giải]

chán nhể, t/g ABH = t/g CAI (cạnh huyền-góc nhọn)

=> AH = CI (2 cạnh t/ứ)

AM là đường trung tuyến của tam giác BAC vuông cân tại A nên AM = BC/2 = MC

HAM = BAM - BAH = 45^o - BAH

MCI = MCA - ACI = 45^o - ACI

Mà BAH = ACI (...)

=> ...