Chứng minh rằng nếu x+y+z=a và\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a}\) thì tồn tại 1 trog 3 số x,y,z bằng a ??
Giúp mik vs,,mik cần gấp !
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}z=a\\x=a\\y=a\end{matrix}\right.\)
OI
1
26 tháng 9 2021
Áp dụng t/c dtsbn:
\(\dfrac{x}{y+z+1}=\dfrac{y}{x+z+1}=\dfrac{x}{x+y-2}=\dfrac{x+y+z}{y+z+1+x+z+1+x+y-2}=\dfrac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z+1}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\\dfrac{y}{x+z+1}=\dfrac{1}{2}\left(2\right)\\x+y+z=\dfrac{1}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Rightarrow2x=y+z+1\)
\(\Rightarrow2x=\dfrac{1}{2}-x+1\left(do.\left(3\right)\right)\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
\(\left(2\right)\Rightarrow2y=x+z+1\)
\(\Rightarrow2y=\dfrac{1}{2}-y+1\left(do.\left(3\right)\right)\)
\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\)
\(\left(3\right)\Rightarrow z=\dfrac{1}{2}-x-y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)\in\left\{\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}\)
TT
7 tháng 1 2021
b/ \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{d}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+b+c}{b+c+d}\)
=> \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\left(\dfrac{a+b+c}{c+d+b}\right)^3\) (2)Từ (1) và (2)=>đpcm
28 tháng 11 2017
Đặt \(x=\dfrac{c^2}{ab}\); \(y=\dfrac{a^2}{bc}\); \(z=\dfrac{b^2}{ac}\)
\(\Rightarrow xyz=1\) là điều hiển nhiên
BĐT cần chứng minh tương đương
\(\dfrac{\left(\dfrac{c^2}{ab}\right)^2}{\left(\dfrac{c^2}{ab}-1\right)^2}+\dfrac{\left(\dfrac{a^2}{bc}\right)^2}{\left(\dfrac{a^2}{bc}-1\right)^2}+\dfrac{\left(\dfrac{b^2}{ac}\right)^2}{\left(\dfrac{b^2}{ac}-1\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}+\dfrac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}\ge1\)
Áp dụng BĐT C.B.S
\(\dfrac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}+\dfrac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\dfrac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(c^2-ab\right)^2+\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ac\right)^2}\)ta phải chứng minh:
\(\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(c^2-ab\right)^2+\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ac\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-2\left(abc^2+a^2bc+b^2ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
LD
15 tháng 7 2018
ĐK: \(x,y,z,x+y+z\ne0\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}+\dfrac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{xy+yz+zx+z^2}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\dfrac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)
\(\circledast x=-y\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{-y^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{z^3}\)
\(\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{1}{-y^3+y^3+z^3}=\dfrac{1}{z^3}\)
Vậy \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3}\)
Lầm tương tự với hai trường hợp còn lại ta có đpcm 
từ x+y+z=a và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=a\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{xyz}\)
<=>(xy+yz+xz)(x+y+z)=xyz
Từ đó bạn nhân phá ngoặc rồi biến phương trình trên về dạng:
(x+y)(y+z)(z+x)=0
=> x=-y =>z=a
hoặc y=-z =>x=a
hoặc z=-x =>y=a.
Mik nghĩ vậy nhé!
Dòng thứ ba bị sai rồi!