Question

[Trần Duy Quân]

Cho \(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{60}\)

Chứng tỏ 

a, A chia hết cho 3

b, A chia hết cho 5

c, A chia hết cho 7

Answer 1

[Trần Việt Linh]

a) \(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{60}\)

        \(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)

        \(=2\left(2+1\right)+2^3\left(2+1\right)+...+2^{59}\left(2+1\right)\)

        \(=3\left(2+2^3+...+2^{59}\right)⋮3\)

Vậy \(A⋮3\)

b) \(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{60}\)

        \(=\left(2+2^3\right)+\left(2^2+2^4\right)+...+\left(2^{58}+2^{60}\right)\)

        \(=2\left(1+2^2\right)+2^2\left(1+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2^2\right)\)

        \(=5\left(2+2^2+...+2^{58}\right)⋮5\)

Vậy \(A⋮5\)

c) \(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{60}\)

        \(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)

        \(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+..+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)

        \(=7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\)

Vậy \(A⋮7\)