Bài 10 : Chứng minh rằng độ dài mỗi đường trung tuyến của một tam giác nhỏ hơn tổng độ dài của 2 đường trung tuyến kia
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 4 2016
Tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G
Ta có: AM= 3/2 AG, BN=3/2 BG, CP=3/2 CG.... Ta sẽ chứng minh: AM+BN>CP <=> AG+BG>CG
Chứng minh: Trên tia đối của PG lấy sao cho PQ=PG hay GQ=GC
Tam giác AQB = t.giác BGA ( tự chứng minh) => AQ=BG
Xét t.giác AQG, có: AG+ AQ> GQ ( bất đẳng thức trong tam giác)
=> AG + AQ > CG => .....
TT
0
10 tháng 9 2020
Vẽ tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF, trọng tâm (giao điểm 3 trung tuyến) là G.
Gọi M là điểm đối xứng của A qua D ---> D vừa là trung điểm AM, vừa trung điểm BC ---> ABMC là hình bình hành
---> BM=AC
Xét tam giác ABM---> \(AD< AB+BM\Leftrightarrow2AM< AB+AC\)(BĐT tam giác)
Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2BE< BC+BA\\2CF< CA+CB\end{cases}}\)
Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow2\left(AM+BE+CF\right)< 2\left(AB+BC+CA\right)\Rightarrow AM+BE+CF< AB+BC+CA\)--->ĐPCM
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(AG=\frac{2}{3}AM,BG=\frac{2}{3}BE,CG=\frac{2}{3}CF\)
Xét tam giác AGB \(\Rightarrow AB< AG+BG=\frac{2}{3}\left(AM+BE\right)\)(BĐT tam giác)
Hoàn toàn tương tự \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC< \frac{2}{3}\left(BE+CF\right)\\CA< \frac{2}{3}\left(CF+AM\right)\end{cases}}\)
Cộng các BĐT vế theo vế \(\Rightarrow AB+BC+CA< 2.\frac{2}{3}\left(AM+BE+CF\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)< AM+BE+CF\)--->ĐPCM
27 tháng 5 2015
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA
*) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA
+) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK
Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC
+) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC
=> 2.AM < AB + AC (1)
Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2)
2.CE < AC + BC (3)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA)
=> AM + BD + CE < AB + BC + CA
*) Chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE
+) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB
mà AG = \(\frac{2}{3}\).AM ; BG = \(\frac{2}{3}\).BD (do G là trong tâm tam giác ABC)
=> \(\frac{2}{3}\).(AM + BD) > AB
+) Tương tự, ta có: \(\frac{2}{3}\)(AM + CE) > AC; \(\frac{2}{3}\)(BD + CE) > BC
=> \(\frac{2}{3}\).2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
<=> \(\frac{4}{3}\) (AM + BD + CE) > AB + BC + CA
=> AM + BD + CE > \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA)
=> ĐPCM
25 tháng 3 2018
Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA +) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC +) Xét tam giác ABK có: AK < AB +BK mà AK = 2.AM ; BK = AC => 2.AM < AB + AC (1) Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC (2) 2.CE < AC + BC (3) Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA) => AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: 4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE +) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB mà AG = 3 2 .AM ; BG = 3 2 .BD (do G là trong tâm tam giác ABC) => 3 2 .(AM + BD) > AB +) Tương tự, ta có: 3 2 (AM + CE) > AC; 3 2 (BD + CE) > BC => 3 2 .2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA <=> 3 4 (AM + BD + CE) > AB + BC + CA => AM + BD + CE > 4 3 (AB + BC + CA) => ĐPC
