Question

[nguyễn mạnh tuấn]

Cho tam giác cân MBC có BMC = 120 độ và đường cao MH = acăn2

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (MBC) tại M lấy 2 điểm A và D về 2 phía của điểm M sao cho

tam giác ABC đều và tam giác DBC vuông cân tại D.

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

thầy vẽ hình giúp em với ạ. 

Answer 1

[Hà Đức Thọ]

Answer 2

[Nguyễn Thái Bình]

MH =\(\sqrt{2}a\) => MC = \(2\sqrt{2}a\) và CH = \(\sqrt{6}a\)

=> BC = 2CH = \(2\sqrt{6}a\)

=> AC = BC = \(2\sqrt{6}a\)

Tam giác DBC vuông cân tại D => DH = HB = HC = \(\sqrt{6}a\) => DC = \(\sqrt{12}a\)

Tam giác MDC vuông tại M => MD² = DC² - MC² = 12a² - 8a² = 4a² => MD = 2a

Tam giác MAC vuông tại M => MA² = AC² - MC² = 24a² - 8a² = 16a²  => MA = 4a

Trong mặt phẳng BCD, điểm H cách đều B, C, D => Hình cầu ngoại tiếp ABCD nằm trên đường thẳng đi qua H và vuông góc với mặt phẳng BCD. Đường thẳng này nằm trong mặt phẳng HDA (Vì đường thẳng đó vuông góc với BC nên sẽ nằm trên mặt phẳng HDA).

Đồng thời tâm hình cầu cách đều A và D => Tâm đó nằm trên đường trung trực của AD trong mặt phẳng HDA.

Ta vẽ riêng tam giác HDA ra, kẻ đường HE vuông góc với HD cắt AD tại E. Ta có HM là đường cao tam giác vuông HED nên:

HD² = MD.DE => 6a² = 2a. DE => DE = 3a.

Mà AD = MD + DA = 2a + 4a = 6a => AE = AD - DE = 6a -3a = 3a => Điểm E là điểm giữa của A và D.

Vậy E chính là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính hình cầu là ED = 3a => Thể tích khối cầu ....