\(CHO\) \(x,y>0\)\(sao\) \(cho\) \(xy+\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=\sqrt{2011}\)
TÍNH \(S=x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Bạn xem lại đề nhé :)
Thay 1 bằng xy + yz + zx được :
\(1+y^2=xy+yz+zx+y^2=x\left(y+z\right)+y\left(y+z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Tương tự : \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\), \(1+z^2=\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)
Suy ra \(Q=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)(vì x,y,z > 0)
Lời giải:
Từ \(xy+x+y=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=x^2+xy+x+y=x(x+y)+(x+y)=(x+1)(x+y)\\ y^2+1=y^2+xy+x+y=y(x+y)+(x+y)=(y+1)(x+y)\end{matrix}\right.\)
Mà \(xy+x+y=1\Rightarrow x(y+1)+(y+1)=2\Rightarrow (x+1)(y+1)=2\)
Do đó:
\(x\sqrt{\frac{2(y^2+1)}{x^2+1}}+y\sqrt{\frac{2(x^2+1)}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{(x^2+1)(y^2+1)}{2}}\)
\(=x\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(y+1)(x+y)}{(x+1)(x+y)}}+y\sqrt{\frac{(x+1)(y+1)(x+1)(x+y)}{(y+1)(x+y)}}+\sqrt{\frac{(x+1)(x+y)(y+1)(x+y)}{(x+1)(y+1)}}\)
\(=x\sqrt{(y+1)^2}+y\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+y)^2}\)
\(=x(y+1)+y(x+1)+x+y=2xy+2x+2y=2(xy+x+y)=2.1=2\)
Thay \(xy+yz+xz=1\) ta có: \(\hept{\begin{cases}1+x^2=xy+yz+xz+x^2=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\\1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\\1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow S=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)=2\left(xy+yz+xz\right)=2\)