Cho DABC nhọn nội tiếp (O). M là một điểm bất kì nằm trên cung nhỏ AC (M khác A và C, AM < CM). Gọi D, E lần lườt là hình chiếu của M trên AC và BC.a/ Chứng minh: tứ giác CEDM nội tiếp.b/ Gọi H là tr...

Cho DABC nhọn nội tiếp (O) (AB < AC). Gọi H là trực tâm của DABC. Đường thẳngBH cắt (O) tại K (K khác B).a/ Chứng minh K đối xứng với H qua AC.b/ M là một điểm nằm trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Gọi D, E, F lần lượt là hìnhchiếu của M trên AB, BC, CA. Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.c/ Đường thẳng FD cắt đường thẳng KB và đường thẳng MH lần lượt tại N và I. Chứng minh tứ giác MFKN nội tiếp và I...

0

HT

Hậu Trần Đoàn Thanh

7 tháng 7 2021

Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC ( M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB1, Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp và ACM=ACK2,Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE=AM. Chứng minh tam giác ECM vuông cân tại C3, Gọi d, là tiếp tuyến của (O) tại điểm A. Cho P là 1 điểm nằm trên d sao cho hai điểm P,C nằm...

1

AT

An Thy

7 tháng 7 2021

a) Ta có: \(\angle KAC=\angle KBC=90-\angle ACB=\angle HAC\)

mà \(AC\bot HK\Rightarrow\) H và K đối xứng với nhau qua AC

b) Ta có: \(\angle BEM+\angle BDM=90+90=180\Rightarrow BEMD\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle BED=\angle BMD=90-\angle DBM\)

Tương tự \(\Rightarrow MEFC\) nội tiếp \(\Rightarrow\angle FEC=\angle FMC=90-\angle MCA\)

mà \(\angle DBM=\angle MCA\) (ABMC nội tiếp)

\(\Rightarrow\angle BED=\angle CEF\) mà B,E,C thẳng hàng \(\Rightarrow D,E,F\) thẳng hàng

c) Ta có: \(\angle NKM=\angle BKM=\angle BCM=\angle EFM=\angle NFM\)

\(\Rightarrow MFKN\) nội tiếp mà \(MF\parallel NK(\bot AC)\)

\(\Rightarrow MFKN\) là hình thang cân \(\Rightarrow\angle MNH=\angle FKH=\angle FHK\) (K và H đối xứng qua AC)

\(\Rightarrow HF\parallel NM\) mà \(FM\parallel NH\) \(\Rightarrow MNHF\) là hình bình hành

có MN và HF là 2 đường chéo cắt nhau tại I

\(\Rightarrow I\) là trung điểm MH undefined

Đúng(1)

PD

Phạm Đức Minh

3 tháng 3 2020

1

TT

Thanh Tùng DZ

3 tháng 3 2020

1) Dễ thấy \(\widehat{HCB}=\widehat{ACB}=90^o\)

tứ giác CBKH có \(\widehat{HKB}=\widehat{HCB}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{HCK}=\widehat{HBK}\)( 1 )

Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{ACM}=\widehat{ACK}\)

2) Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta BEC\)có :

AM = BE ; AC = BC ; \(\widehat{MAC}=\widehat{CBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BEC\)( c.g.c )

\(\Rightarrow MC=EC\)

Ta có : \(\widehat{CMB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=45^o\)

Suy ra \(\Delta ECM\)vuông cân tại C

3) Ta có : \(\frac{AP.MB}{AM}=R=OB\Rightarrow\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\)

Xét \(\Delta APM\)và \(\Delta OBM\), ta có :

\(\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\); \(\widehat{PAM}=\widehat{MBO}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)

\(\Rightarrow\Delta APM\approx\Delta BOM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\Delta APM\)cân tại P ( vì \(\Delta BOM\)cân tại O )

\(\Rightarrow PA=PM\)

Gọi giao điểm của BM và ( d ) là F ; giao điểm của BP với HK là I

Xét tam giác vuông AMF có PA = PM nên PA = PM = PF

Theo định lí Ta-let, ta có :

\(\frac{HI}{FP}=\frac{BI}{BP}=\frac{KI}{AP}\Rightarrow HI=KI\)

vì vậy PB đi qua trung điểm của HK

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.1) Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh góc ACM = góc...

NM

Nhật Minh Vũ

27 tháng 3 2022

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

13 tháng 7 2023

1: góc BCA=1/2*180=90 độ

góc HKB+góc HCB=180 độ

=>HCBK nội tiếp

2: góc ACM=1/2*sđ cung AM

góc ACK=góc HCK=góc MBA=1/2*sđ cung AM

=>góc ACM=góc ACK

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của cáccạnh BC và AC. Đường thẳng MN cắt cung nhỏ BC của đường tròn O tại P.a) Chứng minh rằng tứ giác OMCN nội tiếp.b) Gọi D là điểm bất kỳ trên AB D A D B    , . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BPD cắt cạnh BC tại điểmI khác B K; là giao điểm của hai đường thẳng DI và AC. Chứng minh rằng PK PB PC PD ...

C

chan

7 tháng 4 2023

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

7 tháng 4 2023

a: ΔOBC cân tại O

mà OM là trung tuyến

nên OM vuông góc BC

ΔOAC cân tại O

mà ON là trung tuyến

nên ON vuông góc AC

Vì góc OMC+góc ONC=180 độ

nên OMCN nội tiếp

HT

Hoàng Thảo Phương

3 tháng 4 2018

Cho (O), bán kính R. Bán kính CO vuông góc với AB. M là 1 điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C). BM giao AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a, Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp.
b, góc ACM = góc ACK.
c, Trên BM lấy E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ACM cân tại C?

0

KM

Kim Minjeong

18 tháng 12 2023

Câu 8 (2,5 điểm). Trên đường tròn (O) đường kính AB = 2R lấy di*k_{m}*C sao cho AC = R và lấy điểm D bất kì trên cung nhỏ BC (D khác C và B). Gọi E là giao điểm của AD và BC, H là hình chiếu của E trên AB. a) Chứng minh tứ giác EDBH là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh HE là tia phân giác của góc CHD. c) Xác định vị trí của điểm D để chu vị tử giác ABDC lớn nhất.

2

KM

Kim Minjeong

18 tháng 12 2023

Di*k_{m}*C là điểm C nhó vì do bị lỗi phông chữ mong mng thông cảm vs ạ🥺

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

18 tháng 12 2023

loading...

CC

Cao Chi Hieu

1 tháng 4 2018

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC. ( M khác B,C ) . AM cắt BC tại N. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của N trên AB, AC. DN cắt AC tại F.
a. CM tứ giác ADNE nội tiếp.
b. FN.FD = FE.FA

c. DE = AM.sinBAC

d. Khi M là điểm chính giữa cung BC nhỏ, hãy so sánh diện tichs ADME và diện tích ABC