Question

[Vịt Quay Tiêu]

a) Cho các số thực dương a; b; c thỏa mãn \(ab+bc+ca\ge3\)Chứng minh:

\(\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\le1\)

Answer 1

[Khôi Bùi]

Ta có :  \(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\)

AD BĐT C-S ta được : 

\(\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  \(=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)

\(\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  

\(=2+\dfrac{2\left(ab+bc+ac\right)-6}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)   \(\ge2\) ( điều này luôn đúng với ab + bc + ac \(\ge3\) )  

Suy ra :  ​​\(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}\)  \(\le3-2=1\)

" = " <=> a = b = c = 1

Vậy ... 

Answer 2

[Khôi Bùi]

Biến thể của bài toán : Cho a ; b ; c > 0 \(a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) 

Chứng minh : \(\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}\le\frac{1}{2}\)