Cho 3 số a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh: 1/ab+a+1 + b/bc+b+1 + 1/abc+bc+b = 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow abc\le1\)
\(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{1}{1+a\left(ab+ac\right)}=\dfrac{1}{1+a\left(3-bc\right)}=\dfrac{1}{1+3a-abc}=\dfrac{1}{3a+\left(1-abc\right)}\le\dfrac{1}{3a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\le\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}=\dfrac{ab+bc+ca}{3abc}=\dfrac{3}{3abc}=\dfrac{1}{abc}\)
26 tháng 2 2021
Theo bđt Cauchy - Schwart ta có:
\(\text{Σ}cyc\frac{c}{a^2\left(bc+1\right)}=\text{Σ}cyc\frac{\frac{1}{a^2}}{b+\frac{1}{c}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a+b+c}\)\(=\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)+3a^2b^2c^2}\)
Đặt \(ab+bc+ca=x;abc=y\).
Ta có: \(\frac{x^2}{xy+3y^2}\ge\frac{9}{x\left(1+y\right)}\Leftrightarrow x^3+x^3y\ge9xy+27y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-9y\right)+y\left(x^3-27y\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT đc CM. Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
KN
31 tháng 5 2020
Xét vế trái, ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{ab+bc+ca}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{bc}+\frac{ab+bc+ca}{ca}\)(Do theo giả thiết thì ab + bc + bc = 1)
\(=\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+3\)
Khi đó, ta quy BĐT cần chứng minh về: \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}\)\(=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)
Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{a}\)\(\le\frac{\frac{a+b+a+c}{2}}{a}=\frac{2a+b+c}{2a}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}\le\frac{2b+c+a}{2b}\)(2); \(\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\le\frac{2c+a+b}{2c}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}\)\(\le\frac{2a+b+c}{2a}+\frac{2b+c+a}{2b}+\frac{2c+a+b}{2c}\)
\(=3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\right]\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\)\(\ge3+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\ge3\)(Điều này hiển nhiên đúng vì theo BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right)\right]\)\(\ge\frac{1}{2}.6\sqrt[6]{\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
VM
1
4 tháng 8 2016
với x,y >0 ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)..\)
Áp dụng bất đẳng thức trên được:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{\left(ab+1\right)+\left(a+1\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\left(1\right).\)( vì abc = 1 )
Chứng minh tương tự ta được : \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\left(2\right).\)
\(\frac{1}{ac+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\left(3\right).\)
Cộng vế với vế các BĐT (1), (2) và (3) ta được :
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}.\)( đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi a = b = c = 1
Vì abc=1 nên:
\(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{1}{abc+bc+b}=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{a}{abc.a+abc+ab}=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{ab}{1+ab+a}+\frac{a}{a+1+ab}=1\)
Chúc bạn học tốt.