Cm bất đẳng thức sau : \(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MV
23 tháng 4 2017
A)
\(2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\\ \Leftrightarrow2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\)
\(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2AB\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2AB\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (1)
\(A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2\ge2BA\\ \Leftrightarrow A^2+B^2-2BA\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\) (LUÔN ĐÚNG) (2) Từ (1), (2) ta có: \(2A^2+2B^2\ge A^2+2AB+B^2\ge2AB+2BA\\ \Leftrightarrow2\left(A^2+B^2\right)\ge\left(A+B\right)^2\ge2\left(AB+BA\right)\left(đpcm\right)\)
BC
1
10 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) ta có:
\(8\left(a^4+b^4\right)\ge4\left(a^2+b^2\right)^2=\left[2\left(b^2+c^2\right)\right]^2\ge\left(a+b\right)^4\).
25 tháng 7 2016
3) Chứng minh bằng biến đổi tương đương ; \(2\left(a^2+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(Chia cả hai vế cho a+b > 0)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.
b) Bạn biến đổi tương tự.
MD
25 tháng 7 2016
3) \(a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)
\(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2\ge a^2+b^2\)(đúng với a,b>0)
10 tháng 4 2018
1.b
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-d\right)^2+\left(d-a\right)^2\ge0\) tong 4 so khong am luon dung
KK
10 tháng 4 2018
2 . ta có
\(\left(x-y\right)^2\ge0\)
<=> x2-2xy+y2 ≥ 0
<=> x2+4xy-2xy+y2 ≥ 4xy
<=> x2+2xy+y2 ≥ 4xy
<=> (x+y)2 ≥ 4xy
CMTT
(y+z)2 ≥ 4yz
(z+x)2 ≥ 4zx
nhân các vế của bđt ta có
[(x+y)(y+z)(z+x)]2 ≥ 64x2y2z2
<=> (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm.
14 tháng 1 2018
Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))
Vậy bđt đã đc chứng minh
Ta có : \(a^2+b^2+4\ge ab+2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4\ge ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+4\right)\ge2\left(ab+2a+2b\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8\ge2ab+4a+4b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+8-2ab-4a-4b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+4+4-2ab-4a-4b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2