Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tam giác vuông ABO và ACO có chung cạnh huyền AO nên O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A.
Lại có AO là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì AO đi qua H hay A, H, O thảng hàng.
Theo liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta có \(\widehat{KDC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có: \(\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Suy ra \(\widehat{KDC}=\widehat{COA}\)
Vậy thì \(\Delta KDC\sim\Delta COA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CK}{AC}=\frac{CD}{AO}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)
c) Ta thấy \(\widehat{ABN}=\widehat{NBC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung chắn các cung bằng nhau)
Vậy nên BN là phân giác góc ABC.
Lại có AN là phân giác góc BAC nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d) Gọi J là trực tâm tam giác ABC. Ta có ngay \(JC\perp AB;BJ\perp AC\)
Vậy thì BO // JC ; BJ // OC
Suy ra tứ giác JBOC là hình bình hành.
Lại có OB = OC nên JBOC là hình thoi.
Từ đó ta có JB = JC = OB = OC = R.
Vậy khi A di chuyển trên tia By cố định thì BJ = R hay J thuộc đường tròn tâm B, bán kính R.
Ta có: \(\widehat{DQB}=\widehat{CQP}\)(2 góc đối đỉnh).
Dễ thấy CA và CB là hai tiếp tuyến của (I) \(\Rightarrow CP=CQ\)nên tam giác CPQ cân tại C
\(\Rightarrow\widehat{CQP}=\frac{180^0}{2}-\frac{\widehat{C}}{2}=90^0-\frac{\widehat{C}}{2}\Rightarrow\widehat{DQB}=90^0-\frac{\widehat{C}}{2}\left(1\right)\)
Lại có: \(\widehat{DIB}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{A}+\frac{1}{2}\widehat{B}=\frac{1}{2}\left(180^0-\widehat{C}\right)=90^0-\frac{\widehat{C}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{DQB}=\widehat{DIB}\)=> Tứ giác BIQD nội tiếp đường tròn
=> \(\widehat{BDI}=\widehat{BQI}\). Mà \(\widehat{BQI}=90^0\)\(\Rightarrow\widehat{BDI}=90^0\)
Do đó \(AD\perp BD\)tại D hay \(AI\perp BD\)tại D
Ta thấy tam giác ABC vuông tại A có A; B cố định => \(\widehat{BAC}\)không đổi nên tia phân giác AI của \(\widehat{BAC}\)cố định
Do BD vuông góc với AI tại D (cmt) => BD cố định , vậy nên điểm D là điểm cố định.
Mà PQ đi qua D => PQ luôn đi qua 1 điểm D cố định khi C chuyển động trên tia At (đpcm).