Question

[Kynz Zanz]

Tìm x thuộc N biết:

1³+2³+3³+......+10³=(x+1)²

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Ta có công thức: \(1^3+2^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)với \(n\inℕ^∗\).

Áp dụng ta được phương trình ban đầu tương đương với: 

\(\left(\frac{10.11}{2}\right)^2=\left(x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=55\\x+1=-55\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=54\\x=-56\end{cases}}\).

Answer 2

[Xyz OLM]

Ta chứng minh : 1³ + 2³ + 3³ + .... + n³ = (1 + 2 + 3 + ... + n)² (1) với n \(\inℕ\)

Nếu n = 0 => (1) đúng 

Đặt n = k (k \(\inℕ\))

Nếu n = k thì (1) đúng khi đó (1) <=> 1³ + 2³ + 3³ + .... + k³ = (1 + 2 + 3 + ... + k)² (1)

Ta cần chứng minh với n = k + 1 thì 1³ + 2³ + 3³ + .... + (k + 1)³ = [1 + 2 + 3 + ... + (k + 1)]² (2)

Thật vậy : 1³ + 2³ + 3³ + .... + (k + 1)³ =  1³ + 2³ + 3³ + .... + k³ + (k + 1)³ = (1 + 2 + 3 + ... + k)² + (k  +1)³

 = [k(k + 1) : 2)² + (k + 1)³ \(=\frac{\left[k\left(k+1\right)\right]^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)(3)

mà [(1 + 2 + 3 + ... + (k + 1)]² = \(\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)(4)

Từ (3) (4) => (2) đúng

=> (1) đúng 

=> ĐPCM

Khi đó 1³ + 2³ + 3³ + ... + 10³ = (x + 1)²

=> (1 + 2 + 3 + ... + 10)² = (x + 1)²

=> 55² = (x + 1)²

=> \(\orbr{\begin{cases}x+1=55\\x+1=-55\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=54\left(tm\right)\\x=-56\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Vậy x = 54 

P/S : Phần chứng minh không hiểu thì hỏi lại mình nhé !