Cho \(a+b=ab\)và \(a,b>\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
CMR\(\frac{1}{a^2+a-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\ge\frac{2}{5}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FC
2 tháng 9 2019
1. Ta có:
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)
=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)
=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)
=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);
(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)
2 tháng 9 2019
1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)
Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)
Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :
\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
TN
7 tháng 6 2017
#: Lỡ hẹn với Mincopxki rồi xài cách khác vậy :(
Đặt \(a=\frac{2x}{3};b=\frac{2y}{3};c=\frac{2z}{3}\)
Khi đó ta có \(xy+yz+xz\ge3\) và cần chứng minh
\(Σ_{cyc}\sqrt{\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}}\ge\frac{\sqrt{181}}{5}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:\(Σ_{cyc}\sqrt{\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}}\)
\(=\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\sqrt{\left(\frac{4}{9}+\frac{9}{25}\right)\left(\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}\right)}\ge\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\left(\frac{4x}{9}+\frac{9}{5\left(2y+3\right)}\right)\)
Giờ chỉ cần chứng minh \(\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\left(\frac{4x}{9}+\frac{9}{5\left(2y+3\right)}\right)\ge\frac{\sqrt{181}}{5}\)
\(\Leftrightarrow20\left(x+y+z\right)+81\left(\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2y+3}+\frac{1}{2z+3}\right)\ge\frac{543}{5}\)
Đặt tiếp \(x+y+z=3u;xy+yz+xz=3v^2\left(v>0\right)\)
Vì thế \(u\ge v\ge1\)và áp dụng BĐT C-S dạng Engel ta có:
\(20\left(x+y+z\right)+81\left(\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2y+3}+\frac{1}{2z+3}\right)-\frac{543}{5}\)
\(\ge20\left(x+y+z\right)+81\cdot\frac{\left(1+1+1\right)^2}{Σ_{cyc}\left(2x+3\right)}-\frac{543}{5}=60u+\frac{729}{6u+9}-\frac{543}{5}\)
\(=3\left(20u+\frac{81}{2u+3}-\frac{181}{5}\right)=\frac{6\left(u-1\right)\left(100u+69\right)}{5\left(2u+3\right)}\ge0\)
Điều này đúng tức là ta có ĐPCM
1 tháng 1 2020
Áp dụng liên tiếp AM - GM và Cauchy - Schwarz ta có :
\(\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}\ge\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(=\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\)
\(=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left(\frac{9}{4}+\frac{3}{4}+1+1\right)\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+a^2+c^2\right]}\)
\(\ge\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\frac{3}{2}\left(a+\frac{b}{2}\right)+\frac{3}{4}b+a+c\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{5}{2}a+\frac{3}{2}b+c\right)\)
Chứng minh tương tự và công lại ta có đpcm
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
21 tháng 1 2017
Áp dụng liên tiếp AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2 \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2 \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2} \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}\)
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
21 tháng 1 2017
bài này cuốn hút thật, lâu lắm ms thấy . xí bài này nhé nghĩ đã lát quay lại làm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
16 tháng 8 2019
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
7 tháng 9 2019
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)